Mecanica estatica

Momentos de Inercia
Anteriormente se determinó el centroide de un área considerando el primer momento de área con respecto a un eje; esto es, para el cálculo se tuvo que evaluar una integral de la forma ∫ x dA . Las integrales del segundo momento de un área, tal como ∫ x 2 dA son llamadas momento de inercia del área. El término “momento de inercia, como se utiliza aquí, no es correcto, sinembargo, se adoptado debido a la similitud existente con las integrales relacionadas con la masa. El momento de inercia de un área se origina siempre al tener que calcular el momento de una carga distribuida, variable en forma lineal, del eje de momentos. Un ejemplo típico de ese tipo de carga se presenta cuando la presión de un líquido actúa sobre la superficie de una placa sumergida. En la sección dehidrostática se afirmó que la presión, o fuerza por unidad de área, ejercida en un punto localizado a una distancia z debajo de la superficie de un líquido es p = ãz, donde ã es el peso específico del líquido. Así, la magnitud de la fuerza ejercida por un líquido sobre el área dA de la placa sumergida mostrada en la figura es dF = p dA = ã z dA. El momento de esta fuerza con respecto al eje x dela placa es dM =z dF = ã z2 dA, y por lo tanto el momento originado por la distribución de presión total es M = ∫ z 2 dA . Aquí la integral representa el momento de inercia del área de la placa con respecto al eje x. Puesto que las integrales de esta forma con frecuencia aparecen en fórmulas utilizadas en mecánica de fluidos, mecánica de materiales, mecánica estructural y diseño de máquinas, elingeniero deberá familiarizarse con los métodos utilizados para su cálculo. Momento de inercia. Considere el área A, mostrada en la figura siguiente, la cual recae en el plano x-y. Por definición, los momentos de inercia del área plana diferencial dA con respecto a los ejes x y y son dIx = y2 dA y dIy= x2 dA, respectivamente. Para el área completa, los momentos de inercia se determina porintegración: es decir, I x = ∫ y 2 dA
A

I y = ∫ x 2 dA
A

Se puede también formular el segundo momento de área diferencial dA con respecto al polo O, o eje z; véase la figura anterior. Esto se conoce como momento polar de inercia, dJO = r2 dA. Aquí, r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al elemento dA. Para el área completa, el momento polar de inercia es, J O = ∫ r 2 dA = I x + I y

Larelación entre JO y Ix , Iy es posible puesto que r2 = x2 + y2 , ver figura anterior. En los cálculos anteriores puede verse que Ix , Iy y JO serán siempre positivos, puesto que involucran el producto del cuadrado de la distancia y el área. Además, las unidades para el momento de inercia a su vez involucran la longitud ele vada a la cuarta potencia, ejemplo m4 , mm4 o pies4 , pulgadas4 .Problema (Lane Branson) Problema 14.10

K.

Determinar Ix e Iy para el área rectangular de la figura mostrada a continuación.

Solución: los momentos de inercia son Ix =

∫A ∫A

y 2 dA =

∫y ∫x

a /2
=−

a /2

y 2 b dy =

b 3 y 3 a 3 x 3

a/ 2

=
−a

/2

ba 3 12 ab 3 12

Iy =

x 2 dA =

b /2
=−

b /2

b/2

x 2 a dy =

=
−b

/2

Problema (Lane K.Branson) Problema 14.11

Determinar Ix e Iy para el área del triángulo de la figura mostrada a continuación.

Solución: las ecuaciones de los lados derecho e izquierdo del triángulo

y x + =1 h a

y

y x − =1 h a

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: x = ± a − 


a h

y , 


y=±

h x+ h a

Puesto que los elementos del área deben ser positivos, el signo apropiado en lasexpresiones para x es el positivo, y en la expresión para y es el negativo. De este modo dA = 2 x dy = 2a  1 − 


y  dy , h

x dA = y dx = h 1 −  dx   a 

Entonces, por I x =
h

2 ∫A y dA , el momento de inercia respecto del eje x es

Ix =

∫A y dA =
2

∫0

 2a   

y3 y − h
2

 dy =  

 2a 

1 3 1 4 y − y  3 4h 

h

=
0

2a  

...