Mecanica

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA

CÁTEDRA DE “HIDRÁULICA GENERAL” (69.01)

ECUACIONES DE CONTINUIDAD

Ing. Luis E. Pérez Farrás
Edición: Ing. Andrea Bonafine

- Julio 2002 -

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ingeniería
Departamento de Hidráulica

ECUACIONES DE CONTINUIDAD
INDICE
1- GENERALIDADES

2

2. ECUACIÓN DECONTINUIDAD EN UN PUNTO

3

3- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE

5

3.1- PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO
3.2- PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO

5
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Ecuaciones de Continuidad

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Facultad de Ingeniería
Departamento de Hidráulica

ECUACIONES DE CONTINUIDAD
1-- GENERALIDADES
1 GENERALIDADESEstudiaremos las ecuaciones de continuidad, las que se obtienen del Principio de la
Conservación de la Masa aplicada al escurrimiento de fluidos, a través de un “volumen de control”.
En efecto, considerando un volumen arbitrario, fijo en el espacio e inmerso en un medio
continuo en movimiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante (tal como se esquematiza en
la Figura 1) es evidente que; elbalance entre la masa entrante y saliente a través de la superficie del
mismo y en un instante dado, más la variación de la masa en su interior y con la variable tiempo
tendiendo a cero, da inexorablemente una masa resultante nula, puesto que ésta no puede crearse ni
desaparecer.
El principio enunciado se
resume simbólica y escuetamente
como:

Volumen de
control

S

(m s − m e )+ ∆m i = 0Escurrimiento
del fluido
(configuracion de
l.d.c. instantaneas)

En la expresión anterior m
simboliza la masa y los subíndices
indican, "saliente, "entrante" e
“interior”.
Obviamente, el símbolo ∆
implica la "variación" de la masa en
el tiempo, y es la diferencia entre
masa final y masa inicial en el tiempo
elemental considerado.

Elemento de
Superficie
Figura 1
Volumen decontrol

Al escribir la expresión, despejando el paréntesis que implica el balance de masa a través de la
superficie lateral, la interpretación del principio de la masa puede interpretarse en forma más
directa, puesto que el balance entre masa entrante y saliente por la superficie de control, es
compensado por la variación de la masa en el interior del volumen de control. En símbolos:

(m s −m e )

= − ∆m i

Las ecuaciones a obtener dependen de la forma del Volumen de control adoptada. Si ésta es el
cubo elemental de lados diferenciales, se obtiene la Ecuación Diferencial de Continuidad en un
Punto, en cambio si el volumen de control elegido es el Tubo de corriente, la que se obtiene es la
Ecuación Diferencial de Continuidad en el mismo, de suma utilidad para la consideraciónde los
Escurrimientos Unidimensionales.

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Ecuaciones de Continuidad

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2.. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO
2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Es la que se obtiene, al considerar como volumen de control al elemento diferencial de lados
dx, dy y dz.
Consecuentemente para
ecuación buscada, seconsidera
lados diferenciales dx, dy, dz,
punto material (ver Figura 2)
espacio cartesiano

z

u + ∂ u/ ∂ x dx

u
dz

la
de
el
el

Para las tres coordenadas z; y; x;
desarrollaremos el paréntesis que implica el
"balance total de masa en un instante dado".

dy
dx

obtener
el cubo
es decir
fijo en

x

y

La masa entrante según el eje x resulta
de multiplicar el"caudal de masa" según x
por dt, en efecto:

Figura 2
Volumen de control: elemento diferencial

dq m = ρ dq = ρ u dx dy dt = m

La masa saliente resulta:
m sx = m ex +
Es decir:

ρ u dx dy dt +

ex

∂
( m )dx
∂x ex

∂
(ρ u dx dy dt )dx
∂x

El balance o diferencia entre masa saliente y masa entrante resulta:
m sx − m ex =

∂
( ρudydzdtdx
)
∂x

Extrapolando el mismo...