Mecanica

I.P.N
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
E.S.I.M.E
Escuela Superior De Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

MATERIA: CIRCUITOS ELECTRICOS

REPASO DE NUMEROS COMPLEJOS

INGENIERIA MECANICA
DEFINICION NUMEROS COMPLEJOS

SE DEFINE UN NÚMERO ESPECIAL EN MATEMÁTICAS DE GRAN IMPORTANCIA, EL NÚMERO I O UNIDAD IMAGINARIA, QUE VERIFICA LA PROPIEDAD:

I² = − 1
UN NÚMERO IMAGINARIO PURO ES UNMÚLTIPLO DE LA UNIDAD IMAGINARIA DE LA FORMA BI, DONDE B PERTENECE A LOS REALES E I ES LA RAÍZ CUADRADA DE MENOS UNO. PUEDEN HACERSE LAS 4 OPERACIONES RACIONALES DE SUMA, DIFERENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE DE DOS NÚMEROS IMAGINARIOS PUROS, SOLO QUE EL PRODUCTO Y EL COCIENTE DAN COMO RESULTADO NÚMEROS REALES.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS SON UNA EXTENSIÓN DE LOS NÚMEROS REALES, CUMPLIÉNDOSE QUE. LOS NÚMEROSCOMPLEJOS TIENEN LA CAPACIDAD DE REPRESENTAR TODAS LAS RAÍCES DE LOS POLINOMIOS, COSA QUE CON LOS REALES NO ERA POSIBLE.

DADO QUE UN NÚMERO REAL ES DE DISTINTA NATURALEZA QUE UN NÚMERO IMAGINARIO PURO, SE DEFINE UN NÚMERO COMPLEJO Z COMO LA SUMA DE UN NÚMERO REAL Y UNO IMAGINARIO PURO DE LA SIGUIENTE FORMA:

z = a + bi, con a y b números reales e i es la raíz cuadrada de menos uno.REPRESENTACIÓN BINOMIAL

CADA COMPLEJO SE REPRESENTA EN FORMA BINOMIAL COMO:
z = a + ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
a = Re(z)
b = Im(z)

Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano delos números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese plano. En la parte horizontal o eje real, se colocan los números reales; en el eje vertical o eje imaginario, van los números imaginarios puros.
Dado que cada número complejo consta de una parte real y una imaginaria, puede representarse geométricamente cada número complejo por sus coordenadas en el plano complejo, similarmente alplano de coordenadas cartesianas.
Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.
Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:
• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).
Tal como los hemosdefinido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter. Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C nopuede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

Valor absoluto o módulo de un número complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
[pic]
Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un númerocomplejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.
Si el complejo está escrito en forma polar z = r eiφ, entonces |z| = r.
Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto
[pic]
[pic]
[pic]
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con loscomplejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m...