Mecanica

A1 Conceptos básicos de Mecánica de Medios Continuos
A1.1 Definiciones básicas

Se entiende por medio continuo a un conjunto infinito de partículas cuyo estudio supone la ausencia de espacios vacíos y se suponen continuas y de derivada continua a todas las funciones que se consideran el la teoría12. Existen tres conceptos independientes: Continuidad: Un material es continuo si se llenacompletamente en el espacio que ocupa no dejando poros o espacios vacíos y si además si propiedades pueden ser descritas por funciones continuas. Homogeneidad: Un material es homogéneo si tiene propiedades idénticas en todos sus puntos. Isotropía: Un material es isótropo con respecto a ciertas propiedades si éstas son las mismas en todas direcciones. A1.1.1 Notación indicial La notación indicial o deEinstein se utiliza en el desarrollo de este trabajo por razones de precisión en la definición y de comodidad a la hora de la programación. Esta consiste en que todo índice repetido en un mismo monomio de una expresión algebraica supone la sumatoria con respecto a ese índice. Ejemplo: Vector a : a = a1 + a2 + a3 = ai (A1.1) Producto escalar : a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2 + a3b3 = ai bi (A1.2)

1 2Malvern, L.E. (1969). Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall., Englewood Cliffs, NJ. Oliver Olivella, X y Argelet de Saracíbar Bosch, C, (2000). Mecánica de los medios continuos para ingenrieros. Ediciones UPC.

Anexos A1- Conceptos Básicos de Mecánica de Medios continuos

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A1.1.2 Símbolo de permutación
0 emnr = Ejemplo: 1 -1 para dos índices iguales cuando mnrvan en orden ascendente cuando mnr van en orden inverso

(A1.3)

Producto vectorial:

c = a × b = (a 2 b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a 2 b1 )k

c p = eqrp a q br

(A1.4)

A1.1.3 Delta de Kronekner
δpq = Ejemplo: 0 1 si p = q si p ≠ q

(A1.5) (A1.6)

Igualdad e-δ:

eijk eirs = δ jrδ ks − δ jsδ kr

A1.2

Ecuaciones de movimiento

Se puede describir el movimientodel medio continuo a través de funciones matemáticas que describen la posición de cada partícula a lo largo del tiempo. Se define como configuración del medio continuo en el instante t al lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales del medio continuo en dicho instante y se denota por Ω. A un cierto instante t = t0 del intervalo de tiempo de interés se lodenomina instante de referencia y a la configuración en dicho instante Ω0 se la denomina configuración inicial, material o de referencia. Dado el sistema de coordenadas cartesianas (X,Y,Z) y los correspondientes versores (e1,e2,e3). X3 X e3 e1 X1 Figura A1.1– Configuraciones del medio continuo. P

Ω0
x

P’

Ωτ

e2 X2

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MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS

En la configuraciónde referencia Ω0 el vector posición X de una partícula que ocupa un punto P en el espacio viene dado por:

X = X 1e1 + X 2 e2 + X 3 e3 = X i ei

(A1.7)

donde las componentes (X1, X2, X3) se las denomina coordenadas materiales de la partícula. En la configuración actual Ωt, la partícula situada originalmente en el punto material P ocupa el punto espacial P’ y su vector de posición x vienedado por:

x = x1e1 + x 2 e2 + x3 e3 = xi ei

(A1.8)

donde a (x1, x2, x3) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el instante de tiempo t. De esta forma puede describirse el movimiento de las partículas del medio continuo mediante la evolución de sus coordenadas espaciales, o de su vector posición, a lo largo del tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una funciónpara que cada partícula proporcione sus coordenadas espaciales xi en los sucesivos instantes de tiempo. Puede hacerse en función de las coordenadas materiales o en función de las coordenadas espaciales. En función de las coordenadas materiales x = ϕ ( X , t ) = x( X , t ) (A1.9) Xi: Ecuaciones de movimiento xi = ϕ i ( X 1 , X 2 , X 3 , t ) En función de las coordenadas espaciales X = ϕ −1 ( x, t )...