Mecanica

11 Anillos y cuerpos

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Capítulo 11

Anillos y cuerpos
1. Definiciones y propiedades
2. El anillo de los polinomios
3. Cuerpos finitos

En el capítulo anterior se ha estudiado la estructura algebraica más completa definida a partir
de una operación, la estructura de grupo. En este capítulo iniciaremos el estudio de estructuras
algebraicas definidas a partir de dos operaciones, losanillos y los cuerpos, introducidas en el
primer capítulo de esta última parte.
Los sistemas de numeración algebraicamente más completos están construidos a partir de
dos operaciones: la suma y el producto. Esto hace que sea importante el estudio de conjuntos
que se comporten de forma similar desde el punto de vista algebraico.
La primera sección de este capítulo está dedicada al estudio de laspropiedades básicas de
los anillos y de los cuerpos. Se introducen las nociones de ideal y anillo cociente, que serán
útiles más adelante. La segunda sección se dedica al estudio de un ejemplo importante de
anillo, el anillo de los polinomios, que se utilizará para la construcción de cuerpos finitos en la
última sección de este capítulo. Las aplicaciones basadas en estas estructuras seestudiarán en
el último capítulo.

11.1 Definiciones y propiedades
Recordemos que un anillo A ´A Ƶ es una estructura algebraica en la cual A es un conjunto
y ‘ ’, ‘Æ’ son operaciones binarias definidas sobre A que satisfacen las condiciones siguientes:
A1 ´A

µ

es un grupo abeliano.

© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.

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A2 ´A

MATEMÁTICA DISCRETA

Ƶ es un semigrupo.

A3‘Æ’ es distributiva respecto de ‘ ’. Esto es, para todo a b ¾ A,
´

a Æ ´b cµ
´a bµ Æ c

´a
´a

Æ bµ
Æ cµ

´a
´b

Æ cµ
Æ cµ

El ejemplo más sencillo y representativo de estructura de anillo lo encontramos en ´ · ¡µ,
el anillo de los enteros. De hecho, éste es un ejemplo de anillo unitario, es decir, admite
elemento neutro respecto de la segunda operación. Hay, sin embargo,autores que incluyen
dentro de los axiomas de anillo la existencia de este elemento neutro. Esto se debe al hecho de
que la mayoría de los anillos más utilizados cumplen este requisito.
Por similitud con ´ · ¡µ, cuando tratemos con un anillo unitario cualquiera, en general
nos referiremos a la suma y al producto como primera y segunda operación respectivamente y
utilizaremos el 0 y el 1 comoneutros respectivos. Para abreviar la notación, escribiremos ab
en lugar de a ¡ b.
Está claro que los axiomas de anillo son una abstracción del comportamiento de los números enteros respecto de las operaciones aritméticas elementales: la suma y el producto. Sin
embargo, ´ · ¡µ tiene, además, otras propiedades referidas a la segunda operación que permiten refinar esta estructura. Así, la conmutatividadde esta segunda operación conlleva la
estructura de anillo abeliano. Esta propiedad no la comparten, sin embargo, todos los anillos,
como es el caso del anillo de las matrices cuadradas de orden 2 sobre , ´M2 ´ µ · ¡µ.
Ejercicio 11.1. Demostrar que ´M2 ´

¡

µ · µ es

un anillo unitario no abeliano.

Una clase importante de anillos abelianos unitarios finitos es
enteros módulo n.Ejercicio 11.2. Demostrar que ´

¡

n· µ

¡

´ n · µ,

el anillo de los

es un anillo unitario abeliano.

La ley de simplificación es otra propiedad importante que cumplen los números enteros, es
Ò 0 se verifica
decir, para todo a b c ¾ £
ab

ac

µb

c

Esta propiedad está relacionada con la definición siguiente.
Diremos que el anillo ´A · ¡µ admite divisores de cero si existena b ¾ A Ò 0 tales que
ab 0.
Ejercicio 11.3. Demostrar que en un anillo A se verifica la ley de simplificación si y sólo si A
no tiene divisores de cero.

© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.

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El anillo de los enteros no tiene divisores de cero, pero es fácil encontrar ejemplos de
anillos que sí tienen. En 6, por ejemplo, se cumple que 2 3
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0 y...