Mecanica

Cin´tica de Cuerpos R´ e ıgidos: M´todos de Impulso e e ´ Impetu.
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica. ıa a Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5 CP 36730, Salamanca, Gto., M´xico e E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx Alejandro Tadeo Ch´vez a Departamento de Ingenier´ Mecatr´nica. ıa o Instituto Tecnol´gicoSuperior de Irapuato o Carretera Irapuato-Silao Km. 12.5 CP 36614, Irapuato, Gto., M´xico e E-mail: altadeo@itesi.edu.mx

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Introducci´n. o

En estas notas, se presentan los fundamentos de la aplicaci´n del m´todo de impulso e ´ o e ımpetu a la cin´tica de los cuerpos r´ e ıgidos, incluyendo un repaso inicial del m´todo de impulso e e ´ ımpetu, este ultimo t´rmino tambi´n conocido como cantidad demovimiento o momento ´ e e lineal, para part´ ıculas. Despu´s de ese repaso inicial, la tarea de aplicar el m´todo a cuerpos e e r´ ıgidos es relativamente sencilla restando exclusivamente tres tareas: 1. Determinaci´n del impulso lineal de un cuerpo r´ o ıgido sujeto a movimiento plano general. 2. Determinaci´n del impulso angular de un cuerpo r´ o ıgido sujeto a movimiento plano general. 3.Mostrar que la contribuci´n de las fuerzas internas, cuando un cuerpo r´ o ıgido sufre un ıgido, a la determinaci´n del ´ o ımpetu lineal y desplazamiento Euclideo o de cuerpo r´ angular de un cuerpo r´ ıgido es nulo. Es importante hacer notar que, a diferencia de las notas Cin´tica de Cuerpos R´ e ıgidos: Ecuaciones de Newton-Euler, en estas notas se supone de inmediato la restricci´n de o quecuerpo r´ ıgido est´ sujeto a movimiento plano general. a

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Revisi´n del m´todo de impulso e ´ o e ımpetu para part´ ıculas.

Considere una part´ ıcula de masa constante m, localizada en el punto P , sobre la que act´ a u una fuerza F , la segunda ley de Newton indica que F = ma = m d d d ˙ v= (m v) = L = L. dt dt dt (1)

donde L = m v es la cantidad de movimiento lineal de la part´ıcula, momento lineal o ´ ımpetu. Separando variables, la ecuaci´n puede expresarse como o F dt = d (m v) e integrando respecto al tiempo, se tiene que
t2 t1

F dt = mv(t2 ) − mv(t1 ) = mv2 − mv1 = L2 − L1

(2)

Rearreglando los t´rminos, la forma final de la ecuaci´n est´ dada por e o a
t2 t2

mv1 +
t1

F dt = mv2

o

L1 +
t1

F dt = L2

(3)

La ecuaci´n (3) indica que la sumadel ´ o ımpetu, cantidad de movimiento o momento lineal, para el tiempo, t1 , mas la integral, respecto al tiempo, de la fuerza F aplicada a la part´ ıcula, tambi´n conocida como “impulso”, es igual al ´ e ımpetu, cantidad de movimiento o momento lineal, para el tiempo, t2 . Es importante se˜ alar que puesto que esta ecuaci´n se obtuvo a partir de la segunda Ley n o de Newton, entonces lasvelocidades que aparecen en todas las ecuaciones derivadas deben ser respecto a un sistema de referencia newtoniano o inercial. Mas a´ n, si por alguna raz´n u o
t2

F dt = 0,
t1

la ecuaci´n (3) se reduce a o L1 = mv1 = mv2 = L2 . (4) Esta ecuaci´n frecuentemente se conoce como la ley de conservaci´n del momento lineal o o de una part´ ıcula. Ahora analizaremos con mas detalle, la integral de lafuerza con respecto al tiempo, denomin´ndola Imp1→2 , asi pues, se tiene que a Imp1→2 ≡ = ˆ i
t2 t2

F dt =
t1 t2 t1 t1

ˆ Fxˆ + Fy ˆ + Fz k dt i j
t2 t1

Fx dt + ˆ j

ˆ Fy dt + k

t2

Fz dt.
t1

(5)

2

Sustituyendo la ecuaci´n (5) en la ecuaci´n (3) e introduciendo los componentes escalares o o de las cantidades de movimiento, se tiene que ˆ ˆ mvx1 + ˆ mvy1 + k mvz1 j i + ˆi
t2 t1

Fx dt + ˆ j

t2 t1

ˆ Fy dt + k

t2

Fz dt
t1

ˆ = ˆ mvx2 + ˆ mvy2 + k mvz2 . j i

(6)

Descomponiendo esta ecuaci´n en t´rminos de sus componentes a lo largo de las direco e ciones x, y y z, se tiene que
t2

mvx1 +
t1 t2

Fx dt Fy dt
t1 t2

= = =

mvx2 mvy2 mvz2

(7) (8) (9)

mvy1 + mvz1 +
t1

Fz dt

Estas son las componentes cartesianas de la...