mecanica

1 Tensores

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Tensores
1.1 Introducción
Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante Tensores, los cuales,
por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el
concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema
de referencia, las componentes serán dependientes y variarán con éste.
Los tensores puedenser clasificados según su orden como:
Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no dirección (ejemplo:
densidad de masa, temperatura, presión). Los escalares pueden ser funciones del espacio y
del tiempo y no necesariamente han de ser constantes.
Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y dirección (ejemplo: velocidad,
aceleración, fuerza). Será simbolizadopor una letra en negrita con una flecha en la parte
r
superior del tensor, i.e.: • .
Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos
direcciones (ejemplo: tensión, deformación). Será simbolizado por una letra en negrita.
Para los tensores de órdenes superiores también usaremos letras en negrita.
Este capítulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar,vector, tensor de segundo
orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemáticas que darán soporte al
desarrollo de las teorías que se exponen en los capítulos posteriores.
Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del
sistema de coordenadas. A continuación, introduciremos el sistema de coordenadas
rectangulares para expresar las componentes deun vector en dicho sistema. Una vez
definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan sólo

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BÁSICOS

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en función de sus componentes. Por último, expondremos la notación indicial por su
simplicidad y fácil manipulación matemática.
Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especialénfasis en
los tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los
sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas.

1.2 Vectores
A continuación presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial
tridimensional Euclidiano (E ) .
r

r

Suma: Sean los vectores a y b pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los
r
mismos, verFigura 1.1(a), será otro vector ( c ) dado por:
r r r r r
c =a+b=b+ a
r
a

(1.1)
r
d

r
c

r
−b

r
b

r
a

r
c

r
b

a)

b)
Figura 1.1: Suma y resta de vectores.
r

r r

Resta: La resta de dos vectores ( a , b ), ver Figura 1.1(b), será otro vector ( d ) dado por:
r r r
d=a−b

(1.2)

r r r r r
r r
r r
(a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c

(1.3)

r r rPara los vectores a , b y c , pertenecientes al espacio de vectores, se cumplen las siguientes

relaciones:

r

r

Producto por un escalar λ : Sea el vector a , el producto λa será un vector con la misma
r
dirección de a , mientras que su módulo y sentido dependerán del valor del escalar λ , tal y
como se indica en la Figura 1.2.
Producto Escalar
r

r

Sean los vectores a y b ,se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar γ
de valor:
r r

r r

γ = a ⋅ b = a b cos θ

Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos (3ª Edición)

(1.4)

Por: Eduardo W.V. Chaves

1 TENSORES

13

siendo θ el ángulo formado por los dos vectores, y • es el módulo (o magnitud) de • , ver
r r

r r

Figura 1.3(a). Podemos concluir también que a ⋅ b = b ⋅ a.
r

r

Para el caso en que a = b obtenemos que:
r r r r
r r r r
r
r r
a ⋅ a = a a cos θ θ=0 º → a ⋅ a = a a ⇒ a = a ⋅ a


λ =1

λ >1

r
a

0 < λ 0

xT T x > 0

(1.225)

Decimos que un tensor es definido negativo cuando se cumple que:
Notación Tensorial

r
r
x⋅T⋅x 0 , λ 2 > 0 , λ 3 > 0 ) sean positivos.
La demostración se encuentra en el subapartado...