Mecanica

Aplicaciones de la Integral definida







Sesión 1

4. Aplicaciones de la Integral Definida
4.1 Áreas entre curvas
En el capítulo 2 aprendimos como calcular el área bajo una curva. Si recuerdas Paco, la región estaba acotada por la gráfica de una función, por dos rectas perpendiculares en las abscisas a y b (límites de la integral) y por el eje x o g(x)=0.
Es posible calcular elárea comprendida entre dos curvas. Para ello observemos la siguiente figura:
[pic]
P. Profe eso no es ningún problema. Hallo las áreas bajo cada curva y luego resto!
[pic]Tienes razón Paco, pero que haríamos si el área entre las curvas se nos presenta como en la figura de la derecha?

P. Igual que en la anterior, sólo que en lugar de restar, las sumo.
Ok Paco. Una conclusión que sacamos de tusafirmaciones es que se hace necesario graficar la
situación problema, para determinar cuándo resto o cuando sumo. Observa que en ambas figuras, la curva que representa a la función f(x) está por encima de la curva que representa a g(x). Es decir, f(x)>g(x). Cuando lo anterior ocurre, podemos establecer la siguiente definición:

Si f y g son continuas en el intervalo [a, b] y f(x)>g(x) para todox en [a, b], el área de la región acotada por las gráficas de f y g entre las rectas verticales x = a y x = B es
[pic]




Que es lo mismo que afirmaste!
P. Un momento profe! Y cuando sumo?
Eso no es problema, cuando la función g(x) toma valores negativos, éstos se convierten en positivos al reemplazar en la expresión anterior, obteniendo así… tu suma.
Veamos unos ejemplos Paco.
Ejemplo4.1 Hallar el área de la región acotada por y = x2 + 2, y = -x, x = 0 y x = 1
Observa Paco que en este ejemplo nos dan todas las fronteras de la región. Es importante la gráfica, así sea un esbozo, para determinar cuál es f y cuál es g. Veamos:

[pic]
En la gráfica de la izquierda hemos representado nuestro problema. Luego f(x) = x2 + 2 y g(x) = -x, entonces,[pic]Ejemplo 4.2 Hallar el área comprendida entre f(x) = 2 – x2 y g(x) = x
P. Y dónde quedaron las rectas verticales que acotan la región?
Buena pregunta Paco. Tanto las curvas que representan la función como las rectas que enuncias son las fronteras de la región a buscar. Cuando no nos dan las rectas verticales es porque es posible que nosotros las hallemos.
Pero quiero que lo analicemos apartir de la gráfica ya construida. En seguida entenderás por qué?
[pic]¿Qué diferencias ves entre esta gráfica y la anterior?

P. Que esta es más bonita

Muy gracioso Paco… responde por favor.
P. Disculpe profe. Hoy estoy de buen humor. Haber, déjeme pensar… Ya! En este caso las curvas se cortan, en el otro no.

Así es Paco. Si las funciones tienen puntos de intersección, podemos hallarlos.Para este caso, la solución es muy sencilla:
a) I Igualamos las ecuaciones que representan las funciones, es decir f(x) = g(x)
2 – x2 = x
b) I Igualamos a cero y organizamos la ecuación x2 + x – 2 = 0
c) F Factorizamos (x + 2)(x -1) = 0
d) D Despejamos x así: x = -2 o x = 1
Hemos encontrado a y b (observa la gráfica). Ahora hallemos el área

P. Espere profe, que va a la lata. Por ningúnlado veo las rectas verticales.
Que pena Paco, tienes razón. En este caso y en otros que se te presentarán, las fronteras de la región sólo las constituyen las curvas de las funciones dadas. Los puntos de intersección nos dicen entre que puntos debemos integrar, es decir los límites de la integral (a y b). Sigamos pues,
[pic]






Ejemplo 4.3 Hallar el área comprendida entre f(x) = sen x yg(x) = cos x
P. Huy profe, usted y sus funciones trigonométricas. Siempre he tenido dificultades para graficarlas.

Tranquilo Paco, te voy a dar un truco sencillo para estas gráficas. Observa la siguiente tabla:
[pic]He colocado en orden ascendente los llamados ángulos notables. El truco es que colocamos los mismos símbolos aritméticos y una serie de números que van de 0 a 4, para el caso...