Mecanica

Mec´nica a
F´ ısica Contempor´nea a
Facultad de Ciencias - UNAM (Dated: September 6, 2012) Curso de acuerdo al programa
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I. CURSO Y CALENDARIO

Presentaci´n del temario, motivaci´n del curso. o o Queremos cubrir el programa de la materia, tratando de que la mayor parte del grupo nos siga, no cubrir a costa de hablar en el desierto. Es factible, lo hemos hecho ynecesitamos su colaboraci´n y compromiso. o Presupuesto de la UNAM 2011, $29, 223 × 106 , para 3 × 105 estudiantes, da $97, 410 por estudiante al a˜o, es decir, n una colegiatura mensual de $8, 117.50. No es que sea gratis. Hay que sacarle provecho.
´ CINEMATICA

II.

Es muy interesante, c´mo, a partir de los conceptos bien fundados de velocidad y aceleraci´n promedio: o o v= ∆x , ∆t a= ∆v , ∆t(1)

se derivan, con c´lculo, expresiones para determinar el movimiento de los cuerpos que ..., ¡funcionan!. a Tomo la velocidad y aceleraci´n instant´neas o a v = lim dx ∆x ∼ , ∆t dt a = lim dv ∆v ∼ , ∆t dt (2)

∆ t→0

∆ t→0

y estudio, inicialmente el caso con aceleraci´n constante. Reescribo dv = a dt e integro y, nuevamente, reescribo o dx = v dt y vuelvo a integrar, obteniendo: v = v0+ a (t − t0 ) , 1 2 x = x0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t0 ) , 2 (3) (4)

En sus cursos han visto otra ecuaci´n, que no requiere de nuevos conceptos sino que se obtiene de masajear estas dos, o discutirlo:
2 v 2 = v0 + 2 a (x − x0 ) ,

(5)

Estas tres ecuaciones, Ecs. (3-5), forman la base de la cinem´tica que conocen, para el caso de aceleraci´n constante. a o Recalco, c´mo surgen a partir dedos conceptos. o En m´s dimensiones, tomamos tres, es interesante que la Naturaleza nos muestra un car´cter vectorial y cada a a direcci´n satisface las leyes independientemente. Es decir, s´lo le pongo vector a mis definiciones anteriores y repito. o o Para los promedios: v= para las instant´neas a v = lim ∆x dx ∼ , ∆ t→0 ∆ t dt a = lim ∆v dv ∼ , ∆ t→0 ∆ t dt (7) ∆x , ∆t a= ∆v , ∆t (6)

ynuevamente integro para cada componente y es directo obtener las dos ecuaciones anteriores, con flecha, es decir, ecuaciones vectoriales: v = v0 + a (t − t0 ) , 1 2 x = x0 + v0 (t − t0 ) + a (t − t0 ) , 2 (8) (9)

que son seis ecuaciones, dos para cada direcci´n. o Para obtener el an´logo vectorial de la tercera ecuaci´n, Ec. (5), hay que repasar las propiedades de los vectores. a o

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III. VECTORESA este nivel de estudio, nos podemos fijar en que hay objetos para los cuales basta un par´metro para caracterizarlos a completamente, por ejemplo, la temperatura o la densidad. Hay otros objetos para los cuales necesitamos dar m´s a par´metros. El ejemplo cl´sico es la velocidad, para el cual necesitamos, para caracterizarlo completamente, dar su a a magnitud, direcci´n y sentido, la famosaflechita. La posici´n es un objeto aparte. Pero a ´stos, como la velocidad, o o e que necesitan m´s par´metros, les llamamos vectores. Ya en cursos m´s avanzados se discutir´n estos conceptos con a a a a mayor profundidad y se caracterizar´n de acuerdo a su comportamiento bajo cambios de sistemas de referencia. a Los vectores, como vimos, los denotamos con flechita arriba, v y se pueden ver en t´rminosdesus componentes, e por ejemplo, v = (v1 , v2 ), en dos dimensiones. Tienen propiedades algebraicas interesantes, como, multiplicaci´n por o escalar, me da otro vector, multiplicando a cada una de sus componentes. La suma o resta, debe ser entre vectores del mismo tipo, del mismo tama˜o, y se suman componente a componente. Tenemos el producto escalar, que consiste n en tomar a dos vectores delmismo tipo y me da, como su nombre lo indica, un escalar, formado por la suma de los productos de cada componente. Entonces, veamos el caso en dos dimensiones: A· B = A1 B1 + A2 B2 , (10)

lo que nos permite definir la magnitud de un vector, como la raiz cuadrada del producto escalar de un vector con s´ ı mismo |A| = A· A = A1 2 + A2 2 . (11)

Uniendo estos dos conceptos, obtengo la siguiente...