Mecanico Industrial

Derivadas parciales

es derivar respecto a una variable.
si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran mas variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función

una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

Considera el volumen V de un cono, este depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

Derivadas parciales de orden superior
Tomando la función derivada de unafunción es posible a veces volver a derivar aquella. Esto es análogo a calcular la segunda derivada de una función de una variable cuando se deriva dos veces con respecto a la misma variable; las derivadas obtenidas se llaman derivadas parciales segundas.

Si f es una función de 2 variables entonces son a su vez funciones, por lo que tiene sentido calcularle sus derivadas parcialesEjm:

Observemos que y deben de ser iguales en sus resultados, eso nos indicaría que estamos bien en las respuestas, si no son iguales, tendríamos que ver en que paso cometimos el error y corregirlo.
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derivada total

Derivada de una función continua, de dos o más variables, con respecto a un solo parámetro, que se puede expresar en términos de una serie de derivadas parciales.
Porejemplo, si z = f(x, y) y tanto x como y son funciones continuas de otra variable t, entonces la derivada total de z con respecto a t es:
dz/dt = (z/x)(dx/dt) + (z/y)(dy/dt)

Ejemplo
Hallar la diferencial total de z=3x² + xy -2y³,
donde x = t³ - t +1; y = sen (2t)

Para poder encontrar la derivada total, primero necesitamos obtener la derivada parcial de z con respecto a la variable x.∂z/∂x = ∂/∂x (3x² + xy -2y³) = 6x + y
Ahora encontraremos la derivada parcial de z con respecto a y, es decir
∂z/∂y = ∂/∂y (3x² + xy -2y³) = x - 6y²
Obtengamos las derivadas de "x" e "y" respecto de "t"
dx/dt = d/dt (t³ - t +1) = 3t²-1
dx/dt = d/dt (sen(2t)) = 2cos(2t)

una vez obtenidas las derivadas podemos formar nuestra derivada total quedando expresada de la siguiente forma:
dz/dt =(∂z/∂x) (dx/dt) + (∂z/∂y) (dy/dt)
dz/dt = [6x+y] [3t²-1] + [x-6y²] [2 cos(2t)]
pero como
x = t³ - t +1; y = sen (2t)
dz/dt = [ 6(t³ - t +1) + sen (2t) ] [3t²-1] + [(t³ - t +1) - 6(sen (3t))²] [2 cos(2t)]
dz/dt = [ 6t³ - 6t + 6 + sen (2t) ] [3t²-1] + [t³ - t +1 - 6sen² (3t)] [2 cos(2t)]

Derivadas cruzadas

Teorema de Swartz: Igualdad de las derivadas parciales

Si z = f(x,y) es una función talque f , están definidas y además las derivadas cruzadas son continuas en una región abierta R, entonces, para cada (x,y) R se cumple que las derivadas cruzadas son iguales

Veremos ahora un ejemplo en el que las derivadas cruzadas no son iguales por que la función f(x ,y) no tiene derivadas cruzadas continuas en (0,0)

Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) pordefinición:

xy . x2 - y2 si (x ,y) (0,0)
x2 + y2
f(x,y) =
0 si (x,y) = (0,0)

Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden :

f (h,0) - f(0,0)
2 f (0,0) = lim y y ( A )
x y h0 hPero como no conocemos los valores de las derivadas que aparecen en el numerador del cociente debemos calcularlas:
h k . h 2 – k2 - 0
f (h,0) = lim f (h,k) - f (h,0) = lim h 2 + k2 = h
y k0 k k0 k

f (0,0) =...