Mecanico

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES
Las operaciones con límites, tanto en un punto como en el infinito, tiene unas propiedades análogas que debemos conocer:

PROPIEDADES
El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o diferencia de los límites de cada una de las funciones El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada una de las funciones Ellímite de un cociente de funciones es el cociente de los límites de cada una de las funciones
x→∞

lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x)
x→∞ x→∞

x→∞

lim ( f ( x) · g ( x) ) = lim f ( x) · lim g ( x )
x→∞ x→∞

lim f ( x) f ( x) x→∞ lim = x → ∞ g ( x) lim g ( x )
x→∞

El límite del producto de una función por un número real es el producto del número por el límite de la funciónEl límite de una función constante coincide con el valor de la constante

x→∞

lim (k · f ( x ) ) = k · lim f ( x)
x→∞

x→∞

lim k = k
lim g ( x )

El límite de la potencia de dos funciones es el valor de la potencia de sus límites

x→∞

lim f ( x )

g ( x)

= lim f ( x )
x→∞

x→∞

INDETERMINACIONES
Cuando en el cálculo de un límite de una función, no obtenemos unasolución concreta, estamos ante una indeterminación, que debemos resolver. Tipos de indeterminaciones teniendo en cuenta a que tiende x:
x→±∞:
∞−∞

Límites cuando

Límites de una función en un punto a) Indeterminación del tipo:

a) Indeterminación del tipo: b) Indeterminación del tipo:

0 0 k 0

∞ ∞

b) Indeterminación del tipo:

c) Indeterminación del tipo:

1∞

Resolución de laindeterminación :

∞ ∞
   

a) Se resuelve dividiendo numerador y denominador por la x elevado al mayor exponente del denominador o del numerador Calcular el siguiente límite:
 2 x 2 − 3x + 5 lim  2 x→∞   3x + 5 x

 2 x 2 − 3x + 5 lim  2 x→∞   3x + 5 x

 ∞ =  ∞ 

Es una indeterminación, resolvemos dividiendo numerador y denominador por x2:

   2 x 2 − 3x + 5   lim   3 x 2 + 5 x  = xlim  x→∞ →∞    

0 2x 3x 5  5  3  − 2 + 2  2− + 2  x x2 x x  = lim  x  = lim  2  = 2    x→∞  5 0  x→∞  3  3 3x 2 5 x + 2  3+   2 x   x x 
2

0

Resolución de la indeterminación :

∞−∞

b) Si no hay expresiones con raíces, se resuelve la operación entre las expresiones analíticas de las funciones:  x2 − 3 x − 2  lim  − Calcular elsiguiente límite: x → ∞  x 3   

x2 − 3 x−2 − lim =∞−∞ lim x→∞ x→∞ x 3
Es una indeterminación, resolvemos realizando la operación:
 3 x2 − 3  3x 2 − 9 − x 2 + 2 x  x2 − 3 x − 2 x (x − 2)   = lim    = lim  lim − − x→∞  x 3  x → ∞  3x 3x  x → ∞  3x     

x2 − 3 x−2 − x 3
  2x2 + 2x − 9  = lim   x→∞  3x    ∞  =  ∞ 

(

)

Resolvemos ahora laindeterminación

∞ ∞

0

 2x2 2x 9  9     + − 2  2x + 2 −   2x + 2x − 9  x x x  = lim  x  = lim  2 x + 2  = ∞  = lim  lim      x→∞  x→∞ x→∞  3x  x→∞  3x 3 3         x    

Resolución de la indeterminación :

∞−∞
x2 + x   

c) Si hay expresiones con raíces, se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión radical Calcular elsiguiente límite: lim  x 2 − x −  x→∞ 

lim  x 2 − x −  x→∞ 

x2 + x  = ∞ − ∞  

Es una indeterminación, resolvemos multiplicando y dividiendo la expresión radical por:
 x2 − x +   x 2 + x  ⇒ lim  x 2 − x −   x→∞    x2 − x − x2 + x  2  = lim  x +x  x→∞  x2 − x    x 2 − x +   + x2 + x    x2 + x   

 2  x −   = lim x→∞  x2  

2  −  x2 + x  2 x        x2 − x − x2 − x − 2x ∞  = lim = lim = x→∞  x→∞  − x + x2 + x    x2 − x + x2 + x    x2 − x + x2 + x  ∞      

Resolvemos ahora la indeterminación
− 2x   x2 − x +  x2 + x   

∞ ∞
− 2x x x2 x  + 2  x2 x   = lim −2  0  1− 1 +  x  1 0 1+  x  
x→∞

x→∞

lim

= lim

x→∞

 x2 x  − 2 +  x2 x 

=

−2 = −1 2

Indeterminación...