Mecanismos

An´lisis Din´mico de un Mecanismo Plano de Cuatro Barras. a a
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica. ıa a Divisi´n de Ingenier´ Campus Irapuato-Salamanca o ıas, Universidad de Guanajuato CP 36730, Salamanca, Gto., M´xico e E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx
Estas notas tienen como objetivo mostrar la soluci´n del an´lisis din´mico de un mecanismo o a a plano de cuatrobarras, mediante este ejemplo sencillo, las diferentes tareas del an´lisis din´mico de a a maquinaria.

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An´lisis Cinem´tico del Mecanismo Plano de Cuatro Bara a ras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La ecuaci´n del lazo del o mecanismo est´ dado por a (1) a2 + a3 = a1 + a4 . Si se seleccionan los angulos asociados a los vectores, θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , apartir del semieje positivo X, las ´ componentes escalares de la ecuaci´n (1), a lo largo de los ejes X y Y est´n dadas por o a a2 Cθ2 + a3 Cθ3 a2 Sθ2 + a3 Sθ3 = = a1 Cθ1 + a4 Cθ4 a1 Sθ1 + a4 Sθ4 (2)

Debe notarse que los par´metros del mecanismo son a1 , a2 , a3 , a4 , θ1 , mientras que las variables a son θ2 , θ3 , θ4 . Mas a´ n, si el eslab´n motriz es el eslab´n 2, el angulo θ2 aun cuando esuna variable, u o o ´ es un dato necesario para realizar el analisis de posic´n, de modo que las dos ecuaciones (2) cuya o soluci´n constituye el an´lisis de posici´n est´n dadas por o a o a f1 (θ3 , θ4 ) = a2 Cθ2 + a3 Cθ3 − a1 Cθ1 − a4 Cθ4 = 0 f2 (θ3 , θ4 ) = a2 Sθ2 + a3 Sθ3 − a1 Sθ1 − a4 Sθ4 = 0 (3) La matriz Jacobiana asociada a este sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas est´ dada por oa J(θ3 , θ4 ) =
∂f1 ∂θ3 ∂f2 ∂θ3 ∂f1 ∂θ4 ∂f2 ∂θ4

=

−a3 S θ3 a 3 C θ3

a4 S θ4 −a4 C θ4

.

(4)

Es importante notar que el determinante de la matriz jacobiana est´ dado por a |J(θ3 , θ4 )| = a3 a4 (S θ3 C θ4 − C θ3 S θ4 ) = a3 a4 S (θ3 − θ4 ) . (5)

Con las ecuaciones (3, 4) es posible realizar el an´lisis de posici´n del mecanismo plano de cuatro a o barras. Suponga ahora que seha realizado el an´lisis de posici´n del mecanismo plano de cuatro barras, a o 1

Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras. derivando las ecuaciones (3), con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones correspondientes al an´lisis de velocidad del mecanismo plano de cuatro barras. Estas ecuaciones est´n dadas por a a g1 (ω3 , ω4 ) = g1 (ω3 , ω4 ) = −a2 Sθ2 ω2 − a3 Sθ3 ω3 + a4 Sθ4 ω4 = 0 a2Cθ2 ω2 + a3 Cθ3 ω3 − a4 Cθ4 ω4 = 0

(6)

Debe notarse que, una vez resuelto el an´lisis de posici´n del mecanismo plano de cuatro barras, a o las ecuaciones (6) representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´gnitas, ω3 y ω4 . Este o sistema de ecuaciones puede escribirse en forma matricial como −a3 S θ3 a 3 C θ3 a4 S θ4 −a4 C θ4 ω3 ω4 = a2 Sθ2 ω2 −a2 Cθ2 ω2 (7)

Debe notarse quela matriz de coeficientes de la ecuaci´n (7) es la misma matriz jacobiana del o sistema no lineal de ecuaciones asociada al an´lisis de posici´n del mecanismo. Por lo que, excepto en a o un caso, si el an´lisis de posici´n tiene soluci´n, entonces el an´lisis de velocidad del mecanismo tiene a o o a una soluci´n unica. o ´ La soluci´n del an´lisis de velocidad del mecanismo plano de cuatro barrasest´ dada por o a a a2 S θ2 ω 2 a4 S θ4 −a2 C θ2 ω2 −a4 C θ4 a3 a4 S(θ3 − θ4 ) −a3 S θ3 −a2 C θ2 ω2 a 3 C θ3 a2 S θ2 ω 2 a3 a4 S(θ3 − θ4 ) a2 S(θ4 − θ2 ) a3 S(θ3 − θ4 )

ω3 = y ω4 =

= ω2

(8)

= ω2

a2 S(θ3 − θ2 ) a4 S(θ3 − θ4 )

(9)

Derivando las ecuaciones (6), con respecto al tiempo, se obtienen las ecuaciones correspondientes al an´lisis de aceleraci´n del mecanismo plano decuatro barras. Estas vienen dadas por a o

2

2 2 2 h1 (α3 , α4 ) = −a2 Sθ2 α2 − a2 Cθ2 ω2 − a3 Sθ3 α3 − a3 Cθ3 ω3 + a4 Sθ4 α4 + a4 Cθ4 ω4 = 0

2 2 2 h1 (α3 , α4 ) = a2 Cθ2 α2 − a2 Sθ2 ω2 + a3 Cθ3 α3 − a3 Sθ3 ω3 − a4 Cθ4 α4 + a4 Sθ4 ω4 = 0 (10)

De nueva cuenta, si previamente se han resuelto los an´lisis de posici´n y velocidad del mecanismo a o plano de cuatro barras, las ecuaciones...