mecatronica

1

´
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Ing. Mary Sandoval Moreno
13 de marzo de 2013

L´
IMITES Y CONTINUIDAD
L´
ımites de funciones
La noci´n de l´
o
ımite de una funci´n es el tema central del c´lculo, es tal vez el m´s importante, pues
o
a
a
est´ intimamente ligado a los conceptos, entre otros, de continuidad, derivada e integral. Por lo que
a
antes de dar su definici´nconoceremos algunos conceptos con una serie de ejemplos, que ayudar´n a
o
a
comprender mejor los diversos t´rminos que intervienen en dicha definici´n.
e
o
Vecindad de un n´ mero real
u
Definici´n: Sea ε ∈ R+ ; x0 ∈ R
o
Entonces una vecindad o entorno de un n´ mero real x0 es un intervalo abierto que tiene como centro
u
a x0 y como radio un n´ mero real positivo ε > 0 y se denota por: Vε (x0) o N (x0 , ε)
u
´

Figura 1. Vecindad de un n´ mero real
u

Vε (x0 ) = ]x0 − ε, x0 + ε[ = {x ∈ R/|x − x0 | < ε} Vε (x0 ) = {x ∈ R : x0 − ε < x < x0 + ε}
′

′

Vecindad reducida es el entorno anterior sin el n´ mero x0 , se denota Vε (x0 ) o N (x0 , ε)
u
´
′

Vε (x0 ) = ]x0 − ε, x0 + ε[ − {x0 } = Vε (x0 ) − {x0 } {x ∈ R/o < |x − x0 | < ε}
Ejemplos:
1. Son vecindades del n´ meroreal x0 = 5 los siguientes intervalos.
u
′

]5 − 1/5, 5 + 1/5[ − {5} ⇒ V1/5 (5) = ]24/5, 26/5[ − {5}
]5 − 1/2, 5 + 1/2[ ⇒ V1/2 (5) = ]9/2, 11/2[
1

Figura 2. Vecindad reducida de un n´ mero real
u

2. Determinar el intervalo de :
N (2, 3) = ]−1, 5[
′

N (1, 2) = ]−1, 3[ − {1}
3. Encontrar el entorno de:
]0, 8[ = N (4, 4)
′

]0, 1[ − {1/2} = N (1/2, 1/2)
Punto de acumulaci´no
Definici´n: Dado un subconjunto A de n´ meros reales (A ⊂ R), un punto x0 ∈ R entonces x0 es un
o
u
punto de acumulaci´n de A, si y solo si, cualquier vecindad Vε (x0 ) x contiene por lo menos un punto
o
x de A distinto de x0 , es decir:
x0 ∈ R es p.a. de A ⇔ (∀ε > 0, ∃x ∈ A) /0 < |x − x0 | < ε

Figura 3. Punto de acumulaci´n de A y punto aislado de A
o

Si x ∈ A pero no es punto deacumulaci´n de A,entonces se dice que x es un punto aislado de A.
o
2

Ejemplo:
Sea el conjunto A = [−1, 5[, determinar si los siguientes puntos:
a)x0 = −1, b)x0 = 5, c)x0 = 6

son o no puntos de acumulaci´n de A
o

a) x0 = −1 es punto de acumulaci´n de A.
o
b) x0 = 5 es punto de acumulaci´n A.
o
c) x0 = 6 no es punto de acumulaci´n A.
o
Desigualdades y funciones
′

En base alas definiciones de N y N se va a resolver el siguiente problema. Sea f una funci´n real
o
cuaquiera y x0 ∈ Dom(f ). Dado un entorno vertical de centro f (x0 ) y radio ε; es decir N (f (x0 ), ε) se
debe encontrar otro entorno horizontal de centro x0 y radio δ , tal que la imagen de este ultimo este
´
incluida en el entorno de f (x0 ) dado; es decir que: f (N (x0 , δ )) ⊂ N (f (x0 ), ε)Figura 4. Desigualdad con funciones

Para resolver el problema planteado hay dos procedimientos:
1. Comprobar que f (N (x0 , δ )) ⊂ N (f (x0 ), ε); es decir la imag´n del entorno horizontal es subcone
junto del entorno vertical. Para resolver por este m´todo es necesario lo siguiente:
e
a) Calcular las im´genes rec´
a
ıprocas de f (x0 ) − ε y f (x0 ) + ε
3

b) Determinar las preim´genes x1yx2
a
c) Determinar el radio δ . El cual designa la distancia de cada una de las preim´genes a x0 , es
a
decir |x1 − x0 | y |x2 − x0 |. El mismo que ser´ el m´
a
ınimo valor de |x1 − x0 | o |x2 − x0 |
d) Verificar si f (N (x0 , δ )) ⊂ N (f (x0 ), ε)
2. Partiendo de: |f (x) − f (x0 )| < ε para concluir en |x − x0 | < δ ; es decir del entorno vertical se
llega al entorno horizontal.Entonces dado N (f (x0 ), ε) se quiere ver para qu´ valores de x, f (x)
e
es elemento de dicho entorno; osea:
f (x) ∈ N (f (x0 ), ε)

⇔

f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε

⇔

−ε < f (x) − f (x0 ) < ε

Es decir queremos que se cumpla |f (x) − f (x0 )| < ε
Definici´n e interpretaci´n geom´trica de l´
o
o
e
ımite
La idea de aproximarse a un objetivo tan cerca como te lo hayas propuesto,...