Mecatronica

Ecuación diferencial parcial

Es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonidoo del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función u(x1,...xn) tiene la siguiente forma

F es una función lineal de u y sus derivadas si, reemplazando u con v+w, F puede escribirse F(v) + F(w), y si, reemplazando u con ku, F puede escribirse como:

Si F esuna función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace.
Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:
Si F es una función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace.Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferenciales:

donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es

quetiene la siguiente solución

Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales
Tipo
Ordinarias y parciales
Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecenderivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

Orden.
El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, laecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y+5dy3-4y=ex
dx2
es una ecuación diferencial de segundo orden.

Grado.
Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial estedada en forma polinomial.
Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial
Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-
Un problema físico sencillo que de origen a una ecuacióndiferencial no lineal es el péndulo oscilante.
Ecuación Diferencial Lineal
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces,cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

Donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es:

Donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP,...