Mecatronica

CÁLCULO VECTORIAL
1. ESCALARES Y VECTORES
1.1.-MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Existen magnitudes físicas cuyas cantidades pueden ser expresadas mediante un número y
una unidad. Otras, en cambio, requieren una indicación adicional: la dirección y el sentido.
- Magnitud escalar: Una magnitud física es escalar cuando queda completamente
determinada por el número que expresa su medida(escalar), expresado en alguna unidad conveniente.
Por ejemplo: temperatura, tiempo, masa, carga eléctrica, potencial eléctrico, energía, etc.
- Magnitud vectorial: Una magnitud física es vectorial cuando en su determinación
necesitamos, además de un número (módulo), una dirección y un sentido. Esta clase de magnitud
recibe el nombre de vector. Por ejemplo: fuerza, velocidad, momento, intensidaddel campo eléctrico,
etc.
Un vector está determinado por cuatro elementos:
(1) Origen: Es el punto de aplicación del vector.
(2) Dirección: La misma que tiene la recta sobre la cual está el vector (directriz).
(3) Sentido: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de
la flecha.
(4) Módulo: Valor numérico de la magnitud que representa, expresado por lalongitud del
vector.

1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores:
- Vectores ligados: Son aquellos vectores con su punto de aplicación perfectamente
definido, así como su dirección y sentido.
- Vectores deslizantes: Son vectores que se pueden desplazar sobre la recta en que se
encuentran, siendo su punto de aplicación cualquierpunto de ella.
- Vectores libres: Son vectores que se pueden trasladar paralelamente a sí mismos a
cualquier punto del espacio.
Así mismo, cuando un vector expresa un sentido de giro se denomina vector axial, en el
caso contrario vector polar.
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A. Beléndez, J. G. Bernabeu, C. Pastor, "Magnitudes, vectores y campos", Universidad Politécnica de Valencia, SPUPV-88.511 (1988).

2.COMPONENTES Y COSENOS DIRECTORES
2.1.- COMPONENTES DE UN VECTOR
Dado un sistema de ejes cartesianos XYZ, podemos descomponer un vector v en la suma de
tres vectores perpendiculares entre sí, cada uno sobre uno de estos ejes.
v = vx + vy + vz
Para cada una de estas tres
direcciones podemos definir un vector
unitario (de módulo unidad), i según el eje
X, j según el eje Y, k según el eje Z.
Entonces:vx = vx i
vy = vy j
vz = vz k

Según lo cual, la expresión general
del vector v, en función de los vectores
unitarios i, j, k, será:
v = vx i + vy j + vz k
A los escalares vx , vy, v z se les llama
componentes cartesianas del vector v:
v = (vx, vy, vz)
El módulo del vector v, |v| , viene dado por
su distancia euclídea, es decir:
|v | =

v2 + v2 + v2
x
y
z

El vector unitarioen la dirección de v, al que llamamos u, viene dado por:
u = |v|
v

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A. Beléndez, J. G. Bernabeu, C. Pastor, "Magnitudes, vectores y campos", Universidad Politécnica de Valencia, SPUPV-88.511 (1988).

2.2.- COSENOS DIRECTORES
Para determinar la dirección del vector v hay que conocer los ángulos α, β, γ que forma,
respectivamente, el vector v con los ejes coordenados XYZ. A sus cosenosse les llama cosenos
directores del vector v:
v
cos α = | x |
v

vy

cos β = | |
v

v
cos γ = | z |
v

Las componentes tienen por valor:
vx = | v | cos α

Se verifica la relación:

vy = | v | cos β

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

vz = | v | cos γ
Es decir, la dirección de la recta directriz del vector queda perfectamente determinada con
dos cualquiera de los ángulos.
Sededuce de esto que un vector queda determinado de alguna de las maneras siguientes:
-A partir de sus tres componentes.
-A partir del módulo y dos de los ángulos que forma con el sistema de referencia.

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A. Beléndez, J. G. Bernabeu, C. Pastor, "Magnitudes, vectores y campos", Universidad Politécnica de Valencia, SPUPV-88.511 (1988).

3. OPERACIONES CON VECTORES
3.1.- SUMA Y DIFERENCIA DE...