Mecatronica

CALCULO DE LO COMPONENTE DE VECTORES EN SISTEMAS (CARTESIANO Y POLAR)

Sistemas de coordenadas :
Se muestran tres diferentes sistemas ortogonales de coordenadas de uso común en estudios de electromagnetismo.
Las matrices de transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas cumplen todas las propiedades algebraicas para transformaciones ortonormales, a saber:
* La matriz detransformación directa es simplemente la transpuesta de la matriz de transformación inversa.
* El determinante de la matriz de transformación es unitario.
Coordenadas Rectangulares
En el sistema de coordenadas rectangulares, también denominadas coordenadas cartesianas en honor a su inventor, el matemático francés Rene Descartes, la posición de un punto se encuentra determinada por tresnúmeros independientes que definen las distancias a los llamados planos coordenados.
En la Figura 4 , se pueden observar los tres planos coordenados que forman ángulos rectos entre si y cuyas intersecciones son los llamados ejes coordenados.
Las distancias perpendiculares medidas a los planos coordenados constituyen las coordenadas de la posición del punto dado.

Figura 4. Sistema decoordenadas cartesianas.
 
Un vector en coordenadas cartesianas se puede notar usando las proyecciones del vector sobre los ejes coordenados y un conjunto de tres vectores directores que apuntan en dirección de dichos ejes.
En la Figura 5 , se muestran los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas rectangulares.

Figura 5. Vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas.
 De acuerdo con las propiedades del producto escalar, un vector cualquiera se nota en el sistema de coordenadas cartesianas como:

Donde, son las proyecciones del vector A sobre los ejes coordenados x, y , z respectivamente y son los vectores unitarios directores del sistema de coordenadas cartesianas.
El vector posición de cualquier punto en coordenadas cartesianas por tanto viene dado por:Ecuación 9 Vector posición en coordenadas cartesianas.
 
Los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cartesianas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 10 .

Ecuación 10 Rotación en los productos vectoriales del sistema cartesiano.
 

OPERACIONES VECTORIALES EN DOS DIMENSIONES (SUMA, RESTA, PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL)Producto escalar : :
El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí.
El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector.
--El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él.
--El módulo de la proyecciónortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección an y b tienen el mismo sentido.
--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son perpendiculares.
El producto escalar se comprende mas fácilmente cuando se estudian sus propiedades geométricas a partir de las definiciones de suma y diferencia devectores.
Por ejemplo, al calcular la magnitud del vector en función de las componentes de A y B de acuerdo con la Figura 1 se obtiene la siguiente relación:

La misma distancia se puede obtener geométricamente por el teorema del coseno:

Figura 1. Diferencia de vectores
 
Dado que es la misma distancia obtenida por dos procedimientos diferentes, se hace evidente la igualdad:

La cualse puede reducir de forma algebraica como sigue:

Esto es equivalente a:

Cuando se cancelan los factores comunes a ambos lados de la igualdad se llega a la ecuación mas conocida del producto escalar de vectores:

Ecuación 1 Producto escalar de dos vectores
 
Esta ecuación resulta de gran utilidad porque permite calcular el producto escalar a través de las componentes, al tiempo que...