Mecatronica

TRAZADO DE DIAGRAMA POLAR Y APLICACIÓN DE CRITERIO
DE NYQUIST
1. TRAZADO DE DIAGRAMA POLAR.
La función de transferencia F(P) , tendrá el formato dado por la siguiente expresión
generalizada:
P

F ( P ) = K TOTAL •

±K

( A0 • P m + A1 • P m −1 + A2 • P m −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Am )
( B 0 • P n + B 1 • P n−1 + B 2 • P n−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + B m )

Es decir que la función de transferencia estará formadapor una constante (KTOTAL ),
multiplicada por ceros o polos al origen de grado múltiple, multiplicados por un polinomio
decreciente de grado "m" y divididos por un polinomio decreciente de grado "n". Es decir:

F( P ) = KTE *

CEROS ORIGEN ∗ ( POLINOMIO ⋅ DECRECIENT E ⋅ GRADO ⋅" m" )
POLOS ORIGEN ∗ ( POLINOMIO ⋅ DECRECIENT E ⋅ GRADO ⋅" n" )

Recordar que para que F(P) sea una funciónrealizable, el polinomio del numerador debe ser de
igual o menor grado que el polinomio del denominador.

PASO 1:
Determinar el punto de inicio de la curva que representa el diagrama polar. Para ello
evaluamos F(P) para P que tiende a cero .

F

( p )

=

p → 0

Se pueden presentar tres casos de acuerdo a las características de la función de transferencia
F(P) :
A) La función detransferencia F(P) no tiene ni ceros ni polos en el origen.
B) La función de transferencia F(P) tiene ceros o polos en el origen y las constantes Am y Bn
de los polinomios del numerador y denominador respectivamente, son ambas positivas o
ambas negativas.
C) La función de transferencia F(P) tiene ceros o polos en el origen y las constantes Am y Bn
de los polinomios del numerador y denominadorrespectivamente, son una positiva y la
otra negativa o viceversa.
CASO A: Si la función de transferencia F(P) no tiene ni ceros ni polos en el origen, al hacer
tender la variable P a cero tendremos :

F(

p )

p→ 0

= Constante

Para la función generalizada:
F

(

p )

P →

0

=

K

TOTAL

•

A
B

Página 1 de 14

m
n

=

Número

En este caso la gráfica deF(P) comenzará sobre el eje real, del plano de la función en un valor
determinado por la constante obtenida.
Si se realiza el análisis mediante la frecuencia compleja (ω), hacemos el cambio de p por jω y
ω
obtendremos:

Plano F(P)

Im

ω→0+

F(P) →F(jω)
F(jω)|ω→0 = |Constante| | 0°

Re

Constante

Con lo que observamos el mismo resultado, la curva comienza sobre el eje real.CASO B-1: La función de transferencia F(P) tiene uno o más ceros en el origen y las
constantes Am y Bn de los polinomios del numerador y denominador respectivamente, son
ambas positivas o ambas negativas. En este caso

F(P) | P→0 = 0
Para conocer la fase, veamos el gráfico del plano de la variable P, en donde imaginamos que
se hace un "zoom" del origen, tal como muestra la Figura 2.

jω
ωjω
ω
Plano P

ω=0
|ξ|=0

θ = 90°
°

σ

σ

FIGURA 2. Zoom del origen, del plano de la variable "p".
Representando el o los ceros al origen en forma polar tendremos:

F( P

)

p→ 0

= K TE \ • ( ξ • e

jθ

)K = 0 ⋅ e

Página 2 de 14

jθ K

= 0 ⋅ 90 ° ⋅ K

Es decir que para P→0 si existen ceros en el origen, el módulo valdrá siempre cero y la fase
será de 90°multiplicados por la cantidad de ceros existentes. La Figura 3 da una idea de cómo
será el inicio de la curva en el plano F(p) , de acuerdo a la cantidad de ceros en el origen de la
función de transferencia.

Im
1 Cero al origen

Plano F(P)

|0| +90°
°

Re
2 Ceros al origen

4 Ceros al origen

|0| +180°
°

|0| +360°
°

3 Ceros al origen

|0| +270°
°

FIGURA 3. Comienzo dela curva de acuerdo a la cantidad de ceros en el origen de F(P).
CASO B-2: La función de transferencia F(P) tiene uno o más polos en el origen y las
constantes Am y Bn de los polinomios del numerador y denominador respectivamente, son
ambas positivas o ambas negativas. En este caso

F

( P

P → 0

)

K
P

=

TE
K

= ∞
P → 0

Para conocer la fase, veamos el gráfico del...