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Vectores en R2 y R3
 
 
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y magnitud.  La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn.  En R1 = R el vectores un punto, que llamamos escalar.  En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
 
En R2:
 
1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectoresen R2, entonces  a + b = (a1, a2)  +  (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
 
2. el producto escalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R2 , entonces  αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2). 
 
Veamos elsignificado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

 
 
Observa que si  a = (a1, a2)   y   b = (b1, b2),  entonces la  suma  de  los  vectores
 a + b = (a1, a2)  +  (b1,b2) = (a1 + b1, a2 + b2).  El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b.  De manera, que se puede obtener  a + b dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llamala regla del paralelogramo.
 
 
 
 
 

 
 
Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α.  Si α < 0 se invierte la dirección delvector a.
 
 
En R3:
 
1. la   suma   de   vectores   se   define   por:   sean   a, b  Є  R3,   entonces a + b = (a1, a2, a3)  +  (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
 
2. el productoescalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R3 , entonces  αa = α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3). 
 
 
Definición:   Sean  a   y   b  vectores  en  Rn,  tal  que  a = (a1, a2, a3, …,an)  y  b = (b1, b2, b3, …, bn).  El producto interno de a  y  b representado por a ∙ b ó , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego losproductos resultantes, esto es:
a ∙ b = = (a1 · b1  +  a2 · b2   +   a3 · b3  + … +  an · bn).
 
Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.
 
Ejemplo (para...