Mecatronica

Regla del cociente

En cálculo, la regla del cociente es un método de encontrar la derivada de una función que es el cociente de dos otras funciones para las cuales existe la derivada.
La función a derivar, f(x), puede escribirse como

y h(x) ≠ 0, entonces la regla afirma que la derivada de g(x) / h(x) es igual a:

O de forma más precisa, para toda x que pertenece a algún conjunto abiertoque contiene al número a, con h(a) ≠ 0; y, tal que existen g'(a) y h'(a); entonces, f'(a) también existe:

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Ejemplo
La derivada de (4x − 2) / (x2 + 1) es:
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El de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo, sobre el de abajo al cuadrado.
En el ejemplo de arriba, se ha escogido:
g(x) = 4x − 2
h(x) = x2 + 1
De formaanáloga, la derivada de sin(x) / x2 (cuando x ≠ 0) es:

Otro ejemplo es:

donde g(x) = 2x2 y h(x) = x3, g'(x) = 4x y h'(x) = 3x2.
La derivada de f(x) se determina tal como sigue:
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Regla del cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominadordividido todo por el cuadrado del denominador. Esto es, 

donde g(x) es diferente de cero.
Ejemplos para discusión:

LA INTEGRAL DEFINIDA |
Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamentecomo el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]  x 
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]  x 
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo)
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]  x 
(se utiliza el valor de la función en cualquierpunto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es elnúmero:
 [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)]  x o bien
donde x0 = a, xn = b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)]  x
 donde x0 a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en el extremo derecho de cada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
 [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)]  x
 donde x0  a, xn  b y  x  .
(la función se evalúa en cualquier punto ti decada subintervalo [xi1, xi] con i  1, .., n)
El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .
Notación y terminología:

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.
La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor dees el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.
Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho  x  . Sean x0  a y xn  b y...