Mecánica Lagrangiana. Constantes básicas.

ALGUNAS CONSTANTES DEL MOVIMIENTO EN MECÁNICA LAGRANGIANA
Lagrangiana del sistema
Coordenadas cíclicas
Integral de Jacobi-Painlevé
Lagrangiana del sistema:
Si tenemos un sistema con n partículasde masas m1...mn cada una de ellas caracterizadas por las
coordenadas generalizadas (q i , q i , t) diremos que la lagrangiana del sistema viene dado por :
˙
n

L=∑ T i (q i , q i ,t )−V i ( qi, qi ,t )
˙
˙
i=1

Con Ti y Vi las energías cinética y potencial de la i-ésima partícula.
De forma que definiremos p ecuaciones del movimiento dadas por la aplicación del operador
lagrangiano:p

d
∑ dt
i=1

( )

∂L
∂L
−
=0
∂ q i ∂ qi
˙

Siendo p el número de grados de libertad del sistema (para ℝ3 : p=3n−h ; con h el
número de ligaduras) . El número p coincide con elnúmero de coordenadas generalizadas
necesarias para describir un sistema.
Se trata de ecuaciones diferenciales cuya solución define la ley horaria para el sistema. La
mayoría de las veces es demasiadocomplicado resolverlas analíticamente.

Coordenadas Cíclicas:
Si resulta que para la coordenada i-ésima se cumple:

( )

d ∂L
=0 , es decir:
dt ∂ qi
˙

∂L
=0 ;
∂q i

se tieneinmediatamente que
condiciones iniciales.

∂L
=K donde K es una constante que se determina por las
∂q
˙

Integral de Jacobi-Painlevé
Por definición, esta integral se denota como:
p

h=

∂L
˙
∑qi ∂ q − L
˙
i=1

i

Y únicamente será constante del movimiento en caso de que L no dependa explícitamente del
∂L
=0 ).
tiempo (
∂t
Esta constante del movimiento tiene que ver directamentecon la conservación de la energía, ya que
de hecho representa a la del sistema, por tanto si se cumple la condición indicada se estará
conservando la energía total del sistema a lo largo del tiempo.En casos especiales ocurrirá que
h=T+V
En el caso en que se cumpla:
1) El potencial no depende de velocidades generalizadas.
2) La energía cinética es una función homogénea de grado 2 para las...