Media aritmetica

Media Aritmética ponderada: En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su peso.

Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga unaponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable
Se la suele representar como:
Siendo wi la ponderación de la variable xi y la suma de todas las ponderaciones.

EJEMPLO
1. Durante el mes de octubre de 1981 los salarios recibidos por un obrero fueron:

Salarioen pesos | Frecuencia en días |
200.000 | 5 |
220.000 | 15 |
300.000 | 4 |

Hallar el salario medio durante ese mes.

2. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final consigue un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media? (Resp. 5,4)
3. Si la renta anual media de los trabajadoresdel campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

Sin embargo, lo normal es Estadística es que los datos vengan agrupados en clases o intervalos, o que nosotros mismos hagamos esa agrupación cuando el número de elementos sea muyextenso, ya que en ese caso el cálculo de la media por los procedimientos vistos para datos sin agrupar sería muy laborioso.

Antes de estudiar los métodos más usuales para el cálculo de la media con datos agrupados, vamos a ver algunas propiedades de la media aritmética que nos ayudarán a comprender mejor el contenido de esos métodos.

Propiedades de la media aritmética
PROPIEDAD 1: La suma delas desviaciones de los valores de la variable con respecto a la media aritmética es 0.

Veamos que resulta al operar la siguiente expresión:. Tendremos que

PROPIEDAD 2: La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema de KÖRING).Para (media aritmética) el valor de las desviaciones será mínima.

PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad:

Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.
Supongamos ahora que tenemos otra variable, que se calcula a partir de la anterior de la siguiente forma: . Si ahoraqueremos calcular la media de esta segunda variable:

como si sustituimos tendremos que es lo que pretendíamos demostrar.

PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante . La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.

NOTA: De las dos propiedades anteriores sededuce que la resta y la división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4 respectivamente.

PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más subconjuntos disjuntos, la media aritmética del conjunto se relaciona con la media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente forma:

Siendo  la media de cada subconjunto y Ni el núm. deelementos de cada subconjunto.

Veamos la demostración de la propiedad: Sea la distribución x1, x2, x3, x4, …… xn, xn+1, xn+2 ……….xk, observando que habrían como dos subconjuntos de n y k-n elementos cada uno. Si consideramos la media aritmética de la distribución: y calculamos los sumatorios para los dos subconjuntos, la expresión de la media quedaría:

Si multiplicamos numerador y...