media aritmetica

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.
es el símbolo de la media aritmética.


Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:


Ejercicio de media aritmética
En un test realizado aun grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
xi fi xi • fi
[10, 20) 15 1 15
[20, 30) 25 8 200
[30,40) 35 10 350
[40, 50) 45 9 405
[50, 60 55 8 440
[60,70) 65 4 260
[70, 80) 75 2 150
42 1 820

Propiedades de la media aritmética
1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a lamedia de la misma igual acero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la mediaaritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dichonúmero.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética
1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media esindependiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.
4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.xi fi
[60, 63) 61.5 5
[63, 66) 64.5 18
[66, 69) 67.5 42
[69, 72) 70.5 27
[72, ∞ ) 8
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.












moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se representa por Mo.
Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.
Hallar lamoda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
Si dospuntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4


Cálculo de la moda para datos agrupados
1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li-1 es el límite inferior de la clase modal.
fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.
fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la en clasemodal.
fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.
ai es la amplitud de la clase.
También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

Ejemplo
Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
fi
[60, 63) 5
[63, 66) 18
[66, 69) 42
[69, 72) 27
[72, 75) 8
100




2º Los intervalostienen amplitudes distintas.
En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

La clase modal es la que tiene mayor altura.



La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:





Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar...