media aritmetica

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datosy dividir el resultado entre el número total de datos.
 es el símbolo de la media aritmética.


Ejemplo: 
Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

Media aritmética para datos agrupados
Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:Ejercicio de media aritmética
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.
 
xi
fi
xi · fi
[10, 20)
15
1
15
[20, 30)
25
8
200
[30,40)
35
10
350
[40, 50)
45
9
405
[50, 60
55
8
440
[60,70)
65
4
260
[70, 80)
75
2
150
 
 
42
1 820

Propiedades de la media aritmética1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:
8 − 7.6 + 3 − 7.6 + 5 − 7.6 + 12 − 7.6 + 10 − 7.6 =
= 0. 4 − 4.6 − 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0
2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto aun número cualquiera se hace mínimacuando dicho número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.
4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.
Observaciones sobre la media aritmética1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.
3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.
 
xi
fi
[60, 63)
61.5
5
[63, 66)
64.5
18
[66, 69)
67.5
42
[69, 72)
70.5
27
[72, ∞ )
 
8
 
 
100
En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.
Ejercicios resueltos de la media aritmética
 
1.Considérense los siguientes datos: 3,8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media.
1

2

2. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?



3. Calcular la media de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
6467
70
73
fi
5
18
42
27
8

xi
fi
xi · fi
61
5
305
64
18
1152
67
42
2814
71
27
1890
73
8
584
 
100
6745



4. Hallar la media de la distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
 
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, 30)
[30, 35)
fi
3
5
7
4
2

 
xi
fi
xi · fi
[10, 15)
12.5
3
37.5
[15, 20)
17.5
5
87.5
[20, 25)
22.5
7
157.5[25, 30)
27.5
4
110
[30, 35)
32.5
2
65
 
 
21
457.5



5. Calcular la media de la distribución estadística:
 
[0, 5)
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
[20, 25)
[25, ∞)
fi
3
5
7
8
2
6

 
xi
fi
Fi
[0, 5)
2.5
3
3
[5, 10)
7.5
5
8
[10, 15)
12.5
7
15
[15, 20)
17.5
8
23
[20, 25)
22.5
2
25
[25, ∞)
 
6
31
 
 
31
 
No se puede calcular la media,porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.


6. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:
 
1
2
3
4
5
6
fi
a
32
35
33
b
35
Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.
xi
fi
xi · fi
1
a
a
2
32
64
3
35
125
4
33
132
5
b
5b
6
35
210
 
135 + a + b
511 + a + 5b


a = 29 b = 36...