Media Superior

Estudio analítico y representación gráfica de funciones (EA y RG)
Lo que llamamos estudio analítico de una función, consiste en encontrar su dominio, hallar sus raíces, determinar dónde crece y dónde decrece, determinar sus máximos y mínimos relativos, conocer su concavidad, establecer sus puntos singulares.
Todas estas propiedades nos permiten hacer una representación gráfica de la funciónmuy aproximada a la real. Si tan sólo calculáramos algunos puntos de la gráfica, tendríamos alguna idea de su variación, pero sería arriesgado unirlos con un trazo continuo, ya que podrían pasar inadvertidos puntos singulares, por ejemplo. Para realizar tal análisis de la función, es aconsejable seguir una serie de pasos ordenados:
-Determinar el dominio.
-Estudiar su continuidad. Hallarasíntotas verticales.
-Hallar sus ceros y determinar su signo.
-Estudiar sus asíntotas horizontales y oblicuas.
-Calcular la derivada primera para hallar extremos (máximos y mínimos), puntos de inflexión con tangente horizontal y puntos singulares.
-Calcular la derivada segunda para estudiar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión con tangente oblicua.
-Se explicará este procedimientotomando como ejemplo la función f(x) = xe(x+1)/(x-1)
Dominio
El dominio de una función es el conjunto de valores donde la función está definida. Se deben hallar los valores de x donde la función no existe. Estos puntos son:
Valores donde algún denominador es 0. Se deben hallar las raíces de cada denominador que aparezca en la función. Esos puntos no pertenecen al dominio.
Valores donde unacantidad subradical de índice par (por ejemplo raíz cuadrada o raíz cuarta) es negativa. Se hallan las raíces de la cantidad subradical y se estudia su signo. Los intervalos donde es negativa son intervalos donde la función no existe.
Las raíces cúbicas (y en general todas las de índice impar) existen para todos los reales.
Valores donde algún logaritmando es menor o igual que cero. Se hallanceros y signo del logaritmando. Donde sea negativo o cero, la función no existe.

En f(x) = xe(x+1)/(x-1) tenemos un denominador: x - 1. Éste vale 0 cuando x=1. Por lo tanto, f no existe en x=1. Dominio de f(x) = Df(x) = {x/x pertenece a R ^ x ≠ 1}

Continuidad y asíntotas verticales
De la parte 1) sabemos en qué puntos no existe la función. Ahora tenemos que averiguar cómo se comporta lafunción en un entorno de esos puntos. Hallamos los límites laterales en los puntos de discontinuidad, y en los extremos de los intervalos de discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=a da infinito se dice que f tiene asíntota vertical (AV) de ecuación x=a (ver la página con las definiciones de asíntotas). En el ejemplo:+inf
----^----
lim f(x) = limxe(x+1)/(x-1) = +inf => f tiene AV x=1.
x->1+ x->1+

-inf
----^----
lim f(x) = lim xe(x+1)/(x-1) = 0+
x->1- x->1- Podemos comenzar a trazar la función:

Ceros y signo
Hallar los ceros de la función consiste en resolver la ecuación f(x)=0.
En algunos casos esto no es sencillo, por locual puede utilizarse el método de Rolle o el método de ábacos.

Para especificar el signo se colocan sobre un eje los ceros de la función y los puntos de inexistencia, y se determina el signo (positivo o negativo) en cada uno de los intervalos que quedan. En el ejemplo:
f(x) = xe(x+1)/(x-1)

- 0 + E +
-------|-------|------->
0 1
La función exponencial essiempre positiva, para todo exponente real, así que el signo de f es el signo de x: negativo para x < 0 y positivo para x > 0.

Asíntotas horizontales y oblicuas
En este punto, determinaremos qué asíntotas presenta la función cuando x tiende a +infinito y -infinito (ver la página sobre asíntotas para revisar lo básico sobre el tema). Para ello se debe hallar el límite de la función cuando x...