Medias pitagóricas

 Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación:
.

Primera media o media aritmética. O "promedio”. De ahí elnombre de la media. Estudia de las medias posibles entre dos números fue ampliamente tratado por los matemáticos pitagóricos. Su expresión matemática es:
|
| |

Pero los pitagóricos dedujeronmultitud de medias más. Para proceder a su descripción sistemática, llamaremos:
 
-a: término mayor
-b: término menor
-d: diferencia entre ambos, o sea d = a-b
-a: diferencia entre el término mayory la media, o sea a = a - m
-b: diferencia entre la media y el menor, o sea b = m - b.
 
Obviamente, es siempre a+b =  d. Observemos también que los valores (b,m,a) forman siempre una sucesióncreciente. Llamaremos por ello "términos extremos" a los a y b, y término central al m. Los "términos mayores" serán (a,m), y los  "términos menores" los (b,m).
Con ayuda de estos símbolos yterminología, traduciremos la propiedad antes indicada de la media aritmética, o primera media de los pitagóricos:
 
α = b
 
Segunda media o media geométrica. Una segunda media, la que hoy llamamosgeométrica, surge al imponer la condición de que el término central es al menor como el mayor al central. Algebraicamente:
|
| |

De donde resulta, en notación moderna:
| | | |
| | | |
|| | |

 
Incidentalmente, de ahí resulta también:
 

 
Y también otra interesante relación entre los intervalos:
|
| |

                   
Finalmente, se cumple en esta mediaque m2 = ab, es decir, que un cuadrado de lado igual a la media tiene un área equivalente a la de un rectángulo definido por los términos extremos como lados. De ahí el nombre de media geométrica, por surelación con la construcción de figuras y cuadratura de éstas, problema que tenía muy sensibilizados a los matemáticos antiguos.
 
Tercera media o media harmónica. La tercera media, también muy...