Medición De Figuras Amorfas

Medición aproximada de figuras amorfas.

Aunque será necesario definirla de forma un tanto complicada, la integral viene
a formalizar un concepto sencillo e intuitivo: el del área. En geometríaelemental se deducen fórmulas para las áreas de muchas figuras planas, pero para el área de una figura amorfa (ver Figura 3.1 o una región debajo de una curva (ver Figura 3.2) se define a veces como elnúmero de cuadrados de lado unidad que caben en una región.

Las veces que cabe un cuadrado unitario en una región, puede ser inadecuada
para ciertas regiones como los círculos ya que no pareceser posible dividir el cuadrado unidad en pedazos que puede ser yuxtapuestos de manera que formen un círculo. Dicho de otra manera es fácil obtener el área de regiones acotadas por rectas.

Supóngaseque se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) querepresenta el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h yluego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincideaproximadamente con la región. Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Para aproximar el área de una figura amorfa, se divide la figura en una ciertacantidad de pequeños rectángulos, para obtener el área de cada uno de ellos y después sumarlos.

Notación sumatoria

En el desarrollo de la integral definida emplearemos sumas de muchos números.Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma. Para ilustrar esto, sea {a1, a2, . . . , an} una colección de números. El símbolo

Sumas de Riemann.

En las...