MEDICION DE LA PSD DE SEÑALES CONTINUAS Y BINARIAS

OBJETO DE APRENDIZAJE:
MEDICION DE LA PSD DE SEÑALES CONTINUAS Y
BINARIAS
Material complementario en: http://gavilan.uis.edu.co/~hortegab
Guía desarrollada por: Homero Ortega B.
Material pedagógico del grupo: RadioGis

Objetivos

•

Por medio de Simulink, conocer la PSD de señales binarias y
diferenciarla de la PSD de un proceso estocástico binario.

•

Adquirir destrezas en elmanejo de las herramientas básicas
(osciloscopio, analizador de espectros, generador de señales, entre
otras) del simulador Simulink.
Marco teórico

PSD DE UNA SEÑAL
(CONCEPTO DE PERIODOGRAMA)
Los parámetros de interés son: la potencia promedio, el valor RMS, la PSD, la
ESD ( energy spectral density), la función de autocorrelación.
Se supone entonces que se tiene una señal ‫ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ paraanalizar.
Valor RMS: X RMS =

x 2 (t ) |

(1)

La representación a (t ) se refiere al cálculo del promedio de tiempo de a(t), es
decir a (t ) =

lim

1
T → ∞ 2T

T

∫ a(t )dt

−T

Potencia promedio: P =

x 2 (t )
R

2
= X RMS

(2)

Potencia promedio normalizada: P = x 2 (t ) , pues se toma R=1 .
También es común hallar P a partir de una versión truncada de x(t ) :
P=lim

1
T → ∞ 2T

T

2
∫ x (t )dt =

−T

lim

1
T → ∞ 2T

∞

∫x

2
T

(t )dt

−∞

De acuerdo a la relación de Parseval; lo anterior equivale a:

(3)

lim்՜ஶ

ஶ

ଵ

‫ܺ| ׬‬ሺ݂, ܶሻ|ଶ ݂݀
ଶ் ିஶ

(4)

Donde ܺሺ݂, ܶሻ es la transformada de Fourier de la señal truncada xT (t )
்

ஶ

ܺሺ݂, ܶሻ ൌ ‫ݔ ்ି׬‬ሺ‫ݐ‬ሻ ݁ ି௝ଶగ௙௧ ݀‫ ݐ‬ó ܺሺ݂, ܶሻ ൌ ‫ି׬‬ஶ ‫ ்ݔ‬ሺ‫ݐ‬ሻ ݁ ି௝ଶగ௙௧݀‫ݐ‬
La definición de la PSD S X ( f ) ha sido realizada de manera que se cumpla que
el área bajo su curva sea la misma Potencia Promedio.

P=

∞

∫ S ( f )df
X

−∞

(5)

De aquí se deduce que
2
1
X ( f ,T )
T →∞ 2T

S X ( f ) = lim

(6)

ଵ

La expresión ଶ் |ܺሺ݂, ܶሻ|ଶ es lo que se conoce como periodograma, y
tiene las mismas dimensiones que la PSD1
La autocorrelaciónpromediada en tiempo es:

RX (τ ) = x ( t ) x ( t + τ )

1
= lim
T →∞ 2T

T

∫ x ( t ) x ( t + τ )dτ

(7)

−T

Así, la Potencia Promedio se puede hallar de varias maneras:

P = x (t ) = X RMS =
2

2

∞

∫ S ( f )df
X

−∞

= RX (0 ) (8)

USO DE LA FFT PARA OBTENER LA TRANSFORMADA DE FOURIER
El capítulo 2-8 del libro de Couch [2], páginas 93-94 explica lo que significa laDFT (Discrete Fourier Transform), la FFT y como obtener la Transformada de
Fourier Continua mediante la DFT o FFT.

PSD DE UN PROCESO ALEATORIO BINARIO
El siguiente ejemplo ilustra lo que significa un proceso aleatorio binario, su
Densidad Espectral de Potencia (PSD) y su utilidad práctica:

1

Como lo explica Haykin en (Haykin, 2001), pag 51, el término un poco confuso ya que elperiodograma no es función de un periodo sino de la frecuencia.

Se tiene una radiobase (RB) que brinda acceso a las llamadas telefónicas
desde diferentes estaciones móviles (MS)2, ver Fig. 1. Vamos a suponer que:
• la RB solo puede atender una llamada a la vez;
• el MS envía la información siempre en forma de bits, ya sea que se trate de
voz3 o datos;
• tan pronto es atendida la llamada de unMS otro MS es atendido; cada
llamada es un ensayo dentro del proceso aleatorio;
• la señal que emite un MS es el resultado de un ensayo, es decir, es una
función muestra;
• los MS pueden estar alejados de manera diferente de la RB, por lo tanto
puede existir un retraso aleatorio entre las señales que llegan a la radiobase
y la señal de reloj usada internamente en la RB para su sincronismo4.En la
Fig 2 se muestra un ejemplo con señales de dos posibles llamadas (dos
ensayos: n=1 y n=2), td es el tiempo en que una señal llega retrasada con
respecto a la de sincronismo.
• Es igualmente probable que un MS esté a una u otra distancia de la
radiobase.
• El sistema ha sido diseñado de tal manera que nunca ocurrirá un atraso
mayor a la duración de un bit Tb . Supongamos que Tb...