Medida cero y contenido cero

Medida cero y contenido cero.
Se dice que A ⊆ Rn tiene medida cero si para cada ε > 0 existe una coleccion contable
(numerable o finita) de rectángulos (Qj )j ∈N tales que A ⊆ ∞ Qj , y ∞ v (Qj ) ≤ε.
j =1
j =1
Se dice que A tiene contenido cero (o volumen cero) si para cada ε > 0 existe una coleccion
finita de rectángulos Q1 , ..., Qk tales que A ⊆ k=1 Qj , y k=1 v (Qj ) ≤ ε. Esto equivale adecir
j
j
que A tiene volumen (i.e. 1A es integrable) y v (A) = 0.
En estas definiciones pueden sustituirse los rectángulos cerrados por rectángulos cerrados, o
por cubos (abiertos o cerrados), adiscreción del usuario.
Propiedades
1. Si A tiene contenido cero entonces también tiene medida cero. El recíproco no es cierto
en general. Sin embargo:
2. Si K es compacto entonces K tiene medidacero si y sólo si K tiene contenido cero.
También:
3. Si A tiene volumen entonces A tiene medida cero si y sólo si A tiene contenido cero.
4. Si A tiene medida cero (resp. contenido cero) y B ⊆ Aentonces B también tiene medida
cero (resp. contenido cero).
5. La unión numerable de conjuntos de medida cero tiene medida cero.
6. La unión finita de conjuntos de contenido cero tiene contenidocero.
7. Si A tiene contenido cero entonces su adherencia A también tiene contenido cero. La
propiedad análoga para medida cero no es cierta (Q = R).
8. Si A tiene volumen y v (A) > 0 entonces A tieneinterior no vacío. O lo que es lo mismo:
si A tiene volumen e interior vacío entonces v (A) = 0.
9. Si A tiene medida cero entonces A tiene interior vacío. El recíproco no es cierto en
general:existen compactos con interior vacío que no tienen medida cero (y en particular
tampoco tienen volumen).
10. Existen abiertos que no tienen volumen.
11. Existen conjuntos no numerables que tienenmedida cero y contenido cero (conjunto de
Cantor).
12. Sean A ⊆ Rn y f : A −→ Rn una función Lipschitziana. Entonces, si E ⊆ A tiene
medida cero (resp. contenido cero) en Rn , su imagen f (E )...