Medida de lebesgue

Medida de Lebesgue
Vega Gonz´lez Miguel Mart´ a ın
16 de junio de 2010

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´ Indice
1. Introducci´n o 2. Conceptos necesarios ´ 2.1. Algebra y σ-´lgebra a 2.2. Medida . . . . . . . 2.3. Medida exterior . . 2.4. Conjuntos medibles 2 3 3 4 4 5

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3. Medida de Lebesgue 3.1. Esbozo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . 3.4. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . 3.5. Medida deLebesgue de conjuntos acotados 3.6. Propiedades demostradas . . . . . . . . . . 3.7. Ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Relaci´n con otras medidas . . . . . . . . o 4. Aplicaciones de la medida de 4.1. Consecuencias de la integral 4.2. Consecuencias de la integral 4.3. Consecuencias de la integral

. . . . . . . . . . . . en R . . . . . . . . .

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6 . 6 . 7 . 7 . 8 . 8 . 10 . 13 . 13

Lebesgue 14 de Lebesgue durante el siglo XX . . . . . 14 de Lebesgue en el C´lculo . . . . . . . . 15 a de Lebesgue en la Probabilidad . . . . . 15

1.

Introducci´n o

HenriLebesgue (1875-1941) no era entusiasta de las generalizaciones. Alguna vez escribi´ que, “reducio da a teor´ generales, las matem´ticas ser´ una herıas a ıan mosa forma sin contenido”. Sin embargo, su contribuci´n m´s importante a la matem´tica fue, precisao a a mente, una generalizaci´n. La teor´ de integraci´n o ıa o desarrollada por Lebesgue extendi´ la teor´ de Rieo ıa mann a una clase m´samplia de funciones. Aunque a esta ampliaci´n es util por s´ misma, su virtud princio ´ ı pal es que los teoremas relacionados con el intercambio del l´ ımite y la integral son v´lidos bajo condiciones a m´s generales que las requeridas por la integral de Riea mann. Esto permiti´ un gran avance en el estudio de o las series trigonom´tricas, fundamentales en el an´lisis e a de Fourier. Esta rama delan´lisis vio gran actividad a principios del siglo XX y fue a 2

de particular inter´s para Lebesgue a lo largo de su carrera. Lebesgue dio a conocer e con detalle su teor´ de integraci´n en su tesis doctoral Int´grale, longueur, aire, ıa o e presentada en la Universidad de Nancy en 1902. Sin embargo, fue en 1901, en su nota Sur une g´n´ralisation de l’int´grale d´finie aparecida en los ComptesRendus e e e e de la Academia de Ciencias de Par´ cuando expuso por primera vez una s´ ıs, ıntesis de sus resultados. La lectura de este documento hist´rico es de gran inter´s, pues o e se trata de la primera manifestaci´n de las ideas que dieron origen a lo que hoy se o conoce como medida e integral de Lebesgue.

2.

Conceptos necesarios

En sesta secci´n se definiran algunos conceptos yenunciaran teoremas necesarios o para una mejor comprension acerca del tema de Medida de Lebesgue. Como solo es para tener un esbozo del tema, no se demostraran dichos teoremas.

2.1.

´ Algebra y σ-´lgebra a

Definici´n 2.1.1 Una colecci´n Ψ no vac´ de subconjuntos de X es un ´lgebra o o ıa a si satisface: i)X ∈ Ψ ii)Si A ∈ Ψ ⇒ AC ∈ Ψ iii)Si A, B ∈ Ψ ⇒ A ∪ B ∈ Ψ Definici´n 2.1.2 Ψ es un σ-´ lgebrasi es un ´lgebra cerrado respecto a las o a a uniones numerables, es decir: {Ai }∞ ⊂ Ψ ⇒ ∪∞ Ai ∈ Ψ i=1 i=1 (1)

Teorema 2.1.3 La intersecci´n de cualquier colecci´n no vac´ de algebras o σo o ıa ´ algebras es, respectivamente, un algebra o un σ-´lgebra. ´ ´ a Corolario 2.1.4 Dada una colecci´n D de subconjuntos de X existe un σ-´lgebra o a minimal que contiene a D, denotada por σ(D). Es...