Medida

Examen departemental de Ecuaciones diferenciales parciales, a˜ o 2010 n Contesta detalladamente todos los problemas. 1. Resolver lossiguientes problemas de Cauchy (10 puntos) a) aux + buy = −cu, con u(x, 0) = x2 b) (3y − x)uy + ux = 3y, con u(1, y) = 0, 2. Determinar los valorespropios y autofunciones propias (10 puntos) a) y + λy = 0, y(0) = y (1) = 0, b) y + λy = 0, y(−1) = y(1) = 0, 3. Desarrollar a) f (x) = x, b)f (x) = x2 , b) f (x) = x(l − x), x ∈ [0, l] , en serie de {cos (nπx/l)} . (10 puntos) 4. Resolver el problema utt − a2 uxx = 0 , x ∈ [0,L], t > 0, con u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0, u(0, t) = 0, u(L, t) = cos (ωt). Determinar los valores de ω para los que la soluci´n u(x, t) noesta acotada. o (25 puntos) 5. Resolver el problema : a) ut + aux = f (x, t), t > 0. Aplicar la soluci´n para la funci´n f (x, t) = o o f (x −vt). Explicar caso v = a. (5 puntos) 6. Reducir a forma can´nica (10 puntos): o a) 4uxx + 3uxy − 2uyy = 0, b) uxx + 4uxy + 4uyy = 0, 7. Dadala ecuaci´n o utt + 2yuyy = 0, a) Encuentra las regiones en que la ecuaci´n es hiperb´lica, parab´lica o o o o eliptica (5 puntos) b) Reduciresta ecuaci´n a su forma can´nica en la regi´n donde es eliptica o o o (5 puntos). 8. Usando separaci´n de variables y series de Fourierresuelve la ecuaci´n de o o Poisson (20 puntos) uxx + uyy = πy, 0 < x < 1, 0 < y < 1, u(x, 0) = 0 = u(x, 1), u(0, y) = 0 = u(1, y).

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