Medidas de dispersion

MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Para conjuntos de datos desagrupados

Las medidas dispersión o variación son valores que representan el grado en que los datos numéricos de un conjunto tienden a esparcirse alrededor de un valor promedio. Las siguientes son medidas de dispersión más comunes:
a) Rango: Es la distancia desde el dato menor al dato mayor. Se denota por el símbolo ������. Se calcula mediantela siguiente fórmula
R  Dato mayor  Dato menor

Ejemplo 1: Dado el conjunto de datos {80, 50, 30, 70, 70, 100, 60, 50} calificaciones de un alumno de 5º semestre en el periodo Ago - Dic 2009. ¿Cuál es su Rango? ������ = 100 − 30 = 70 b) Rango Intercuartil: Es la distancia desde el Cuartil 1 hasta el Cuartil 3. Se denota por el símbolo ������������. Se calcula mediante la siguiente fórmulaRI  Q3

 Q1

Ejemplo 2: Dado el conjunto de datos {80, 50, 30, 70, 70, 100, 60, 50} del ejemplo 1. ¿Cuál es su Rango Intercuartil? Primeramente buscamos el valor del cuartil 1 y del cuartil 3, utilizando las fórmulas vistas previamente: x6   x7  70  80 Q3  C p 75    75 2 2
Q1  C p 25  x  2   x 3  2  50  50  50 2

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Para conjuntos de datos desagrupados

Así el Rango Intercuartil es

RI=75-50=25

c) Desviación Media: Es el promedio (media aritmética) de las distancias de cada dato a otro valor promedio (Generalmente ������ =µ ) Se denota por el símbolo ������������. Se calcula mediante la siguiente fórmula para una muestra,

DM 

x x
i 1 i

n

N

,

N  suma de losdatos

para una población,
DM 

x
i 1

n

i

 , N  suma de los datos ;   media aritmética poblaciona l

N

Ejemplo 3: En el conjunto de datos {80, 50, 30, 70, 70, 100, 60, 50} de calificaciones del ejemplo 1, el conjunto comprende una población. ¿Cuál es su Desviación Media? Tenemos previamente que µ= 63.75 , ahora tendremos que restar de cada dato la media: ������1 − µ = 80− 63.75 = 16.25 ������2 − µ = 50 − 63.75 = 13.75 ������3 − µ = 30 − 63.75 = 33.75 ������4 − µ = 70 − 63.75 = 6.25 ������5 − µ = 70 − 63.75 = 6.25 ������6 − µ = 100 − 63.75 = 36.25 ������7 − µ = 60 − 63.75 = 3.75 ������8 − µ = 50 − 63.75 = 13.75 Enseguida sumamos todos los valores absolutos de esas restas y la suma la dividimos por 8, que es el número de datos.

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Para conjuntos de datos desagrupados

DM 

x
i 1

8

i

 

8

16.25  13.75  33.75  6.25  6.25  36.25  3.75  13.75  16.25 8

Una interpretación de lo que DM=16.25 quiere decir es que si el alumno obtuvo una desviación media de este valor significa que sus calificaciones están variando en un rango de (������ − ������������ ,������ + ������������), es decir, (63.75 − 16.25 , 63.75 + 16.25) = (47.5 , 80). Podemos decir que las calificaciones del alumno están variando en promedio entre un 48 (redondeado) y 80. d) Desviación Estándar: Es la medida de variación que suele ser más importante y útil. A diferencia de la desviación media, la desviación estándar describe la variación de los datos alrededor de la media a través de lasmismas unidades de medición que los datos originales. Se denota por ������ cuando se trata de una muestra y por σ cuando se trata de una población. La fórmula para calcular la desviación estándar muestral es,

s

 x
n i 1

i

 x

2

N 1

,

N  suma de los datos

La fórmula para calcular la desviación estándar poblacional es,



 x
i 1

n

i

 

2

N,

N  suma de los datos ;   media aritmética poblaciona l

Interpretación de la Desviación Estándar: 1. Si los datos están muy juntos la desviación estándar será pequeña, pero si están más separados producirán una desviación estándar mayor.

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2. Una regla útil para...