Medidas de Dispersion

MEDIDAS DE DISPERSION

10/05/2012

Ing. SEMS

2.3 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Todos los valores representativos discutidos en las secciones
precedentes, han sido una especie de promedio o medida de
posición. Sin embargo, el uso de un solo valor para describir una
distribución oculta muchos hechos importantes.
Por ejemplo, dos grupos separados de datos pueden contener la
misma media, peroun grupo puede estar más disperso o
esparcido alrededor del valor promedio que el otro.
Por lo que es necesario una medida de la dispersión,
esparcimiento o variación para ayudar a definir más
completamente la distribución.
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Ing. SEMS

A.- AMPLITUD TOTAL (A)
Se define como la diferencia entre el valor máximo (Vmáx) y el
valor mínimo (Vmín), es decir:
A = Vmáx – VmínRepresenta la medida de variación más simple y la que presenta
mayor valor intuitivo. Una desventaja de la amplitud como
medida de variación es su medida a aumentar a medida que
aumenta el tamaño de la muestra (número de observaciones).
Sería deseable que para medir la variación, dicho valor
permanezca lo más estable posible, independiente del número
de observaciones. Además, sobre una baseintuitiva, la
amplitud sólo utiliza las dos observaciones extremas
desestimando toda la información relacionada con la
variación que puede obtenerse a partir de las restantes
observaciones.
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Ing. SEMS

Ejemplo 12:

Determinar la amplitud de la siguiente serie

de datos:
139, 149, 159, 179
De acuerdo a la definición, se tiene que el Vmáx = 179 y el Mmin
= 139, por consiguiente:A = 179 – 139 = 40
A veces se acostumbra mencionar solamente el valor mínimo y
el valor máximo. En relación a nuestro ejemplo, tenemos que
los datos están muy concentrados o apiñados en dicho
intervalo.
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Ing. SEMS

B.- VARIANZA [V(X)] Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
(σ)
La varianza es una medida de dispersión que cuantifica la
variabilidad de los datos con respecto a la mediaaritmética. Se
define como el promedio de las desviaciones al cuadrado de
cada uno de los datos con respecto a la media.
Simbólicamente podemos expresarlo como:
Dado un conjunto de n datos X1, X2, ..., Xn con una media
aritmética
n

S 
2

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 X  X 
i 1

n

2

i

X

n
Ing. SEMS

X
i 1

n

i

Esta fórmula la podemos expresar de la siguiente manera:
nS2 

X
i 1

O también:

2
i

 nX

2

n


  Xi 
n
X i2   i 1 

n
2
i 1
S 
n
n

2

Las tres fórmulas anteriores nos conducen al mismo resultado
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Ing. SEMS

CÁLCULO DE LA VARIANZA PARA DATOS NO
AGRUPADOS

Ejemplo 13: Consideremos la siguiente serie de datos:
4, 7, 8, 3, 5, 9, 10, 2
Se pide calcular la varianza de este conjunto dedatos.
Solución
Tomando la fórmula (1) de la varianza, primero la media
aritmética, es decir:

4  7  8  3  5  9  10  2 48
X
 6
8
8

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Ing. SEMS

Ahora encontraremos la varianza de acuerdo a la definición:

(4  6) 2  (7  6) 2  (8  6) 2  ...  (2  6) 2
S2 
8
60
2
S   7.5
8

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Ing. SEMS

a.- Utilizando la fórmula (2) de lavarianza, primero encontramos:
X

X2

4

16

7

49

8

64

3

9

5

25

9

81

10

100

2

4

48

348

348  8 * 62 348  288
S2 

 7.5
8
8
b.- Utilizando la fórmula (3) de la varianza,
tomando los mismos resultados hallados
previamente para la fórmula (2), es decir:

348  482 /8 60
S2 
  7.5
8
8
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Ing. SEMS

Como podemosobservar, la varianza puede calcularse por
cualquiera de las tres fórmulas y obtener el mismo resultado. La
desventaja que tiene la varianza es que hay dificultad en su
interpretación por que las unidades que utiliza están elevadas al
cuadrado. Por otro lado, cuando se trabaja con muestra, se hace
una corrección con el denominados y en lugar de considerar n,
consideramos n-1, por consiguiente...