Medidas de dispersión

MEDIDA.-
Es el resultado de medir, es decir, de comparar la cantidad de magnitud que queremos medir con la unidad de esa magnitud.
1.-Medidas De Variabilidad
Las medidas de variabilidad son las que nos permiten estudiar esta mayor o menor variación y, en definitiva van a informarnos de la homogeneidad o heterogeneidad de las puntuaciones. Es decir, nos van a permitir analizar y mediar hastaqué punto las características que se estudian varían de unos sujetos a otros, permitiéndonos cuantificar y analizar las diferencias individuales.
Una medida razonable de la variabilidad podría ser la amplitud o rango, que se obtiene restando el valor más bajo de un conjunto de observaciones del valor más alto.
Ejemplo
Calcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidasen metros:
3,3,4,4,5

Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamente el valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:


La varianza es:


Siendo la desviación típica su raíz cuadrada:


Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) son importantes a la hora de hacer un cambiode origen y escala a una variable. En primer lugar, la varianza (resp. Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores de la variable se le añade una constante. Si además cada observación es multiplicada por otra constante, en este caso la varianza cambia en relación al cuadrado de la constante (resp. La desviación típica cambia en relación al valor absoluto de la constante). Estoqueda precisado en la siguiente proposición.

2.- Rango
Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Para datos finitos o sin agrupar, el rango se define como la diferencia entre el máximo valor(XnóXMax) y el mínimo (X1 ó XMin) en un conjunto de datos,de manera más formal:

R = XMáx – XMín = Xn - X1

2.1.-Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de 1er año,a saber: 18,23, 27,34 y 25.,

Para calcular el rango o recorrido de la variable, se tiene que:

R = Xn – X1 = 34 – 18 = 16 años

3.- Rango Modificado Para Datos No Agrupados y Agrupados
Rango para datos agrupados
Con datos agrupados no se saben los valores máximos y mínimos. Si no hay intervalos de clases abiertos podemos aproximar el rango mediante el uso de los límites de clases. Seaproxima el rango tomando el límite superior de la última clase menos el límite inferior de la primera clase, de manera más formal:

R= (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. de la clase 1)

Ejemplo:
Dada la siguiente distribución de frecuencia determinar el rango o recorrido:
Clases P.M. Mi ni fi Ni Fi
7420-21835 14628 10 0,33 10 0,33
21835-36250 29043 4 0,13 14 0,43
36250-50665 43458 5 0,1719 0,63
50665-65080 57873 3 0,10 22 0,73
65080-79495 72288 3 0,10 25 0,83
79495-93910 86703 5 0,17 30 1,00
Total 30 1,00

El rango de la distribución de frecuencias se calcula así:
R = (lim. Sup. de la clase n – lim. Inf. De la clase 1)
= (93.910 – 7.420) = 86.49

4. La Varianza
Es el promedio de las distancias al cuadrado desde Los valores de la variable hasta la media (es decir, delas puntaciones diferenciales al cuadrado) en una muestra de un sujetos. Afirmamos, por lo tanto, que la varianza es la media de unas distancias al Cuadrado.

En ocasiones, los resultados de este estadístico pueden llevarnos a equívoco por los problemas que se derivan de su interpretación, por el hecho de trabajar con distancias al cuadrado, por lo que se eluden estas dificultades trabajandocon la desviación típica, que se obtiene directamente de la varianza calculando su raíz cuadrada.
La varianza para datos no agrupados
Dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2, … , Xn, la varianza denotada usualmente por la letra minúscula griega δ (sigma) elevada al cuadrado (δ2)y en otros casos S2 según otros analistas, se define como: el cuadrado medio de las desviaciones con...