Medidas De Dispersión

Determinación e interpretación de medidas de dispersión poblacional y muestra.
Datos Agrupados.
Las medidas de dispersión abarcan la amplitud (o “rango”), la varianza y la desviación estándar. Estos valores numéricos describen el grado de dispersión o variabilidad, de los datos. Los valores de estas medidas de dispersión serán mayores cuando los datos estén muy disgregados, y serán menorescuando los datos estén más cercanamente agrupados.
Amplitud.
La Amplitud (o impropiamente, el “rango”) es la medida de dispersión más sencilla. Es la diferencia entre el dato mayor valor (H) y el de menor (L) valor.

amplitud=H-L
E j e m p l o
La amplitud de la muestra3, 3, 5, 6, 8 es 8-3=5.
La amplitud señala que los cinco datos se encuentran dentro de una distancia de 5 unidades sobre larecta numérica.
Las otras dos medidas de dispersión: la varianza y desviación estándar, en realidad son medidas de separación con respecto a la media. Se describe como la Desviación respecto a la media, para desarrollar una medida de dispersión referente a dicha media. Un valor individual de x se desvía de la media en cantidad igual (x-x ) es igual a cero cuando x es igual a la media. Ladesviación (x-x ) es positiva si x es mayor que x , y negativa si x es menor x .
E j e m p l o
Considérese la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Utilizando la fórmula del cálculo de la media x =xn, encontramos que la media es 5. Entonces cada desviación se obtiene restando 5 de cada valor de x.
X 6 3 8 5 3
(x-x ) 1 -2 3 0 -2La tabla anterior muestra las desviaciones de cada valor con respecto a su media. Se podría sospechar que la suma de todas esas desviaciones, =(x-x ), pudiera servir como una medida de dispersión en relación con la media. Sin embargo esta suma es exactamente igual a cero. De hecho será siempre igual a cero. ¿Por qué? Si la suma de las desviaciones, =(x-x ), es siempre igual cero, no será devalor en la descripción de un conjunto particular de datos. Sin embargo, se requiere poder utilizar la idead de desviación respecto a la media, ya que la media es el promedio utilizado más frecuentemente. No obstante, existe un efecto neutralizante entre las desviaciones de los valores x menores que la media (negativas) y las de los valores mayores que la media (positivas). Este efecto neutralizantepuede ser eliminado si se vuelven positivas todas las desviaciones. Podemos lograr esto utilizando x-x , el valor absoluto de x-x . Las desviaciones absolutas para los datos del ejemplo anterior son =(x-x )2.
X 6 3 8 5 3
(x-x ) 1 2 3 0 2

La suma de estas desviaciones es igual a 8. Así se define un valorconocido como desviación media absoluta.

Desviación media absoluta: = x-x n
De modo que en el ejemplo la desviación media absoluta es de 85, o sea 1.6. Aunque esta magnitud particular no se utiliza a menudo es una medida de dispersión. Indica a que distancia promedio está un dato respecto de la media.
Existe otra forma de eliminar el efecto neutralizantes si las desviaciones se elevan al cuadradotodos estos valores no serán negativos (positivos o cero). Cuando se suman todos ellos, el resultado es positivo. Para obtener la variancia se utiliza la suma de los cuadrados de las deviaciones respecto a la media.

VARIANZA

La varianza o variancia, s2, de una muestra es el valor numérico que se obtiene con la fórmula:

Varianza muestral= s2 ==(x-x )2n-1

Donde n es el tamaño de lamuestra, o sea el número de elementos que contiene. La varianza de una muestra es la medida de dispersión de los datos con respecto a la media. La varianza de la muestra 6, 3, 8, 5, 3
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Calculo de s2 para la muestra 6, 3, 8, 5, 3
Paso 1. X | Paso 3 x-x | Paso 4 (x-x )2 |
| | |
6 | 1 | 1 |
3 | -2 | 4 |
8 | 3 | 9 |
5 | 0 | 0 |
3___ | -2___ | 4____ |
25 | 0 | 18...