Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:
• Media aritmética.
• Mediaponderada.
• Media geométrica.
• Media armónica.
• Mediana.
• Moda.

Media aritmética ( o simplemente media)

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombrede media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres ydividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la variable.
También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no esta necesariamente en la mitad.
Una de las limitaciones dela media es que se ve afectada por valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla mientras que valores muy bajos tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

Definición

Dados los n números a1,a2, ... , an, la media aritmética se define simplemente como:
[pic]
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:
[pic]
Se utilizala letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ([pic]), mientras que la letra µ (mi) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

Propiedades

• La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o superior a la media geométrica:
[pic]
• La media aritmética estácomprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos:
[pic]

Media ponderada

Se denomina media ponderada de un conjunto de números al resultado de multiplicar cada uno de los números por un valor particular para cada uno de ellos, llamado su peso y obteniendo a continuación la media aritmética del conjunto formado por los productos anteriores.
Se utiliza la media ponderadacuando no todos los elementos componentes de los que se pretende obtener la media tienen la misma importancia.
Para una serie de datos
X = { x1, x2, ..., xn}
a la que corresponden los pesos
W = { w1, w2, ..., wn}
la media ponderada se calcula como:
[pic]
o:
[pic]
Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas de una oposición en la que se asignadistinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que consta el examen.

Media geométrica

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad arbitraria de números (digamos n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números.
[pic]
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es
[pic]
Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería
[pic]
La pregunta quecontesta es: si todas las cantidades n fueran iguales, ¿cuál sería ese n para que el producto fuera el mismo?

Propiedades

El logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable.
Ventajas:
• considera todos los valores de la distribución y
• es menos sensible que la media aritmética a los valores extremos.
Desventajas:...