Medidas de tendencia central

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media Aritmética
La media aritmética de n observaciones de la variable X se denotará por el símbolo

y se define como la suma de ellas dividida por n. Simbólicamente:

Ejemplo: La media aritmética de los números 3, 9, 12, 5 y 6 es:

 
Si se grafican estos puntos se obtiene:

 
En la figura es claro que la media aritmética corresponde geométricamente alpunto de equilibrio de los datos.
En una tabla de frecuencias, la media aritmética se calcula suponiendo que todas las observaciones en una clase son iguales a su valor medio (mi), por lo que la contribución de la i-ésima clase a la suma es fimi. Por lo tanto, se calcula la media por la ecuación:

Esta ecuación también puede re-escribirse como:

Donde:
fi = frecuencia de la clase i-ésimami = Valor medio de la clase i-ésima
fRi = Frecuencia relativa de la clase i-ésima
 
Ejemplo: Calcular la media de la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
intervalos
Punto medio de clase (mi)
Conteo
fi
fAi
FRi
FRAi
(07.7 , 11.7]
9.7
||||| ||||| ||||| |||
18
18
18/90
18/90
(11.7 , 15.7]
13.7
||||| ||||| |||
13
31
13/90
31/90
(15.7 , 19.7]
17.7
||||| ||||| |||||||||| ||||
24
55
24/90
55/90
(19.7 , 23.7]
21.7
||||| ||||| ||||| ||
17
72
17/90
72/90
(23.7 , 27.7]
25.7
||||| ||||| |||
13
85
13/90
85/90
(27.7 , 31.7]
29.7
 
0
85
0/90
85/90
(31.7 , 35.7]
33.7
||||
4
89
4/90
89/90
(35.7 , 39.7]
37.7
|
1
90
1/90
90/90
TOTAL
90
90
90/90
90/90
 
Se tiene la siguiente formula:
Se van a tomar todos los valores de la tablade la columna fi y mi ; se va a sustituir en la fórmula anterior y queda como:
 

 
También la media se puede calcular con la formula:
Al tomar los datos de la Tabla de Frecuencias para fRi y mi y sustituirlos en la fórmula el resultado queda de la siguiente manera:
 

 
Note que los resultados soun un poco diferentes por el número de decimales utilizados para los calculos.
  

 
 Mediana
La mediana (Me) de un conjunto de n números ordenados de menor a mayor, es el número central en el arreglo. Si n es un número impar (non), sólo hay un valor central en el arreglo. Si n es un número par, hay dos valores centrales y la mediana debe tomarse como la media aritmética de estos dos valores.
 
Ejemplo: Calcular la mediana de los números 3, 9 , 12, 5 y 6
 
Primero hay queordenar los números de menor a mayor:
3, 4, 6, 9, 12
Después se debe verificar si el valor de n es par o impar (non), en caso de ser par se toman los dos valores que estén en el centro.
Como en este caso n = 5 (número non), hay un solo valor central, el 6 y éste es el valor de la mediana, es decir:
Me = 6
 
Nótese que la mediana es un valor más típico del conjunto anterior que la mediaaritmética:

Ejemplo: Se tienen las siguientes edades tomadas de un grupo de 10 estudiantes del grupo del curso de Introducción a los Diseños Experimentales del Colegio de Postgraduados, se desea conocer cual sería su media y cuál sería su mediana.
25, 27, 35, 28, 30, 24, 25, 29, 32, 37
a. Cálculo de la media:

b. Cálculo de la mediana:
Primero se ordenan los datos de menor a mayor:
24, 25, 25, 27,28, 29, 30, 32, 35, 37
Puesto que n = 10(número par), hay dos valores centrales, que son 28 y 29. La mediana es la media aritmética de estos dos valores. Es decir

 
 
Para localizar la mediana en una tabla de frecuencias sólo busque los valores que indiquen aproximadamente la mitad de la frecuencia relativa acumulada (aproximadamente el 50%), ya que la mediana es un valor que divide a losdatos en mitades.
 
Como los datos son 90 (número par) la mediana esta localizada entre la observación cuadragésima quinta y cuadragésima sexta (45a y 46a) que corresponde al intervalo entre 15.7 y 19.7 como se muestra en la tabla:
 
intervalos
Punto medio de clase (mi)
Conteo
fi
fAi
FRi
FRAi
(07.7 , 11.7]
9.7
||||| ||||| ||||| |||
18
18
18/90
18/90
(11.7 , 15.7]
13.7
|||||...