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Una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática que generaliza la noción intuitiva de curva (1-variedad) y de superficie (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos diversos (nonecesariamente el de los reales);

Un poco más formalmente, podemos decir que una variedad de dimensión n es un espacio que se parece localmente a \mathbb{R}^n. Esto nos hace pensar que una variedadestá compuesta de parches n-dimensionales, que donde los parches se traslapan están pegados topológicamente (ver variedad diferenciable).

Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y escompacta.

Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas.

Definición[editar]
Una variedad n-dimensional M es unconjunto dotado de una colección P de cartas abstractas (funciones uno a uno x de D en M, donde D es un conjunto abierto de un espacio euclídeo de n dimensiones, E(n)) tal que

1) M está cubierta porlas imágenes de las cartas de la colección P.
2) Para dos cartas cualesquiera x, y de la colección P, las funciones y'x y x'y son euclidianamente diferenciables ( y están definidas en conjuntosabiertos de E(n) ).
Por lo tanto una superficie es lo mismo que una variedad bidimensional. El espaco euclidiano E(n) es una variedad n-dimensional muy especial, su colección de cartas consiste solamente enla función identidad Los mapas (o cartas)[editar]
Cuando nos desplazamos por la esfera terrestre nos orientamos utilizando mapas planos reunidos en un atlas. En el límite de cada mapa figura lainformación necesaria para "pegar" mentalmente el mapa siguiente. Para poder hacerlo, es necesaria una cierta redundancia en la información: así, tanto el mapa de Europa como el de Asia pueden contenerMoscú. De un modo similar, en matemáticas es posible describir una variedad utilizando una colección de mapas o cartas reunidos en un atlas e indicando como pasar de un mapa a otro. El globo terrestre...