Mediuos Continuos

´ ´ INGENIER´ GEOLOGICA: MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS IA

Ignacio Romero — 20 de Septiembre de 2004

Notaci´n indicial o
En Mec´nica de Medios Continuos los objetos matem´ticos m´s empleados son los a a a escalares, vectores y tensores en R3 . Para trabajar con vectores se define una base de vectores ortonormales B 1 = {e1 , e2 , e3 } de forma que todo vector v ∈ R3 se puede expresar como lasiguiente combinaci´n lineal o v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 . (1) Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuaci´n previa de una forma m´s compacta: o a
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v=
p=1

vp ep .

(2)

Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el s´ ımbolo de sumatorio e indicar sus l´ ımites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convenci´n: en vez o de (1) o (2) seescribe v = vp ep . (3) En esta expresi´n, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo o ´ ındice repetido, se entender´ que vp ep significa v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 . En vez del sub´ a ındice p se podr´ haber empleado cualquier otro, y as´ ıa ı vp ep = vq eq = vi ei , (4)

por lo que el ´ ındice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresi´n (3) emplea notaci´n o oindicial o tambi´n el convenio de Einstein. e Dos vectores a y b son iguales si ap ep = bp ep . Esta igualdad se puede reescribir como (ap − bp )ep = 0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la ultima ´ expresi´n requiere que cada componente se anule, es decir, ap − bp = 0, o de otra manera o ap = bp . (5)

De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezcaun mismo ´ ındice en varios lugares, pero no multiplic´ndose, quiere decir que la igualdad es v´lida cuando el a a ´ ındice toma el valor 1,2 ´ 3. Un ´ o ındice de este tipo se denomina libre y puede intercambiarse por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo, la identidad (5) quiere expressar a1 = b1 (6) a2 = b2 a3 = b3 N´tese que en la identidadanterior (5) no hay ning´n ´ o u ındice mudo, pues aunque p aparezca en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no est´n a multiplicando.

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Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´n se emplea una base tensorial e de nueve tensores: B 2 = {e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 , e3 ⊗ e1 , e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 } , y todo tensor T se puedeescribir como T = T11 e1 ⊗ e1 + T12 e1 ⊗ e2 + T13 e1 ⊗ e3 + T21 e2 ⊗ e1 + . . . (8) (7)

En este caso se observa a´n m´s claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con u a las nueve componentes de un tensor. Se podr´ escribir la expresi´n previa como ıa o
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T =
p=1 q=1

Tpq ep ⊗ eq ,

(9)

pero igual que con los vectores, se adopta la convenci´n de que esta ultima expresi´nse puede o ´ o escribir simplemente como T = Tpq ep ⊗ eq . (10) Como en el caso de los vectores, los ´ ındices repetidos cuyos objetos correspondientes se multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´ ındice tomando valores 1,2 y 3. Tambi´n como en el caso de los vectores, aquellos ´ e ındices libres que aparecen repetidos en varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientesno se multiplican indican que la igualdad es v´lida cuando los ´ a ındices toman valores 1,2 y 3. As´ por ejemplo ı Tij + Rij = 7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de segundo order m´s la misma componente del tensor de segundo orden R es igual a 7. a Las consideraciones aqu´ presentadas son v´lidas tambi´n para tensores de mayor orden. ı a e Por ejemplo: Aijk vj = Ai1kv1 + Ai2k v2 + Ai3k v3 , (11) Spqr Tir = Spq1 Ti1 + Spq2 Ti2 + Spq3 Ti3 .

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Empleo de notaci´n indicial en igualdades o
Cuando se expresan igualdades de cantidades vectoriales o tensoriales se puede emplear notaci´n compacta, indicial o matricial. De esta manera, por ejemplo, la igualdad de dos o tensores A y B se puede indicar de cualquiera de estas tres maneras:     B11 B12 B13 A11...