memoria fisica

Funciones de varias variables (III)

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TEMA 4 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (III):
DESARROLLOS DE TAYLOR Y EXTREMOS DE FUNCIONES
1º) Utilizando la fórmula de Taylor para funciones de 2variables, desarrollar en
torno al punto (-2,1) la función f ( x, y ) = − x 2 + 2.x. y + 3. y 2 − 6.x − 2. y − 4 .
(Sol.: f ( x, y ) = − x 2 + 2.x. y + 3. y 2 − 6.x − 2. y − 4 )
2º) Utilizando lafórmula de McLaurin desarrollar hasta los términos de tercer orden
la función de dos variables: f ( x, y ) = e x .sen( y ) .
1
1
(Sol.: f ( x, y ) = y + x. y + .x 2 y − . y 3 + ... )
2
6
3º)Utilizando la fórmula de Taylor desarrollar la función f ( x, y ) = e x + y en torno al
punto (1,-1) hasta los términos de tercer orden.
1
1
(Sol.: f ( x, y ) = 1 + ( x − 1) + ( y + 1) + .(( x − 1) + ( y+ 1) )2 + .(( x − 1) + ( y + 1) )3 + ... )
2
6
4º) Desarrollar en serie de Taylor hasta los términos de segundo orden y en torno a
cos( x)
(0,0) la función f ( x, y ) =
.
cos( y )
1
1
(Sol.:f ( x, y ) = 1 − .x 2 + . y 2 + ... )
2
2
5º) Hallar los puntos críticos de las funciones:
5-1) f ( x, y ) = x 2 − y 2 + 4 .
(Sol.: (0,0))
5-2) f ( x, y ) = x + y .
(Sol.: No tiene puntoscríticos)
5-3) f ( x, y ) = x 3 + x 2 . y + y 2 + 2. y .
(Sol.: (0,-1), (2,-3) y (1, -3/2))
6º) Calcular los extremos de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 2.x + 4. y + 15 .
(Sol.: En (1,-2) lafunción tiene un mínimo de valor f(1,-2)=10)
7º) Analizar los puntos críticos de la función: f ( x, y ) = x 3 + x 2 . y + y 2 + 2. y .
(Sol.: En (0,-1) no hay extremo, en (2,-3) no hay extremo y en(1,-3/2) se alcanza un
mínimo de valor f(1,-3/2)=-5/4)
8º)
Determinar
el
valor
mínimo
2
2
f ( x, y ) = x − x. y + y + 9.x − 6. y + 20 .
(Sol.: En (-4,1) se alcanza el mínimo de valor f(-4,1)=-1)9º) Determinar los puntos
f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3.x. y .

críticos

y

de

analizarlos

la

para

función

la

función

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(Sol.:...