menpordo

Diferencia de la derivada e integral
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada paraestudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:

Por el criterio de la primera derivada.Obtenemos la primera derivada de la función:

Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo oun mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cerotenemos:
y´(0.01)= 0.004
 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en elintervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:

".
Ejemplo:

(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
 
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 yh=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:
 

Aplicando elteorema:
 

 
Pues f(1)=ln 1=0
 
Y como para x distinto de cero:
 

Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
 

Como queríamos probar.
 
Teorema de Rolle:Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:
F'(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3+ 4x2-7x-10en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2+ 8x-7
f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
 
f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:...