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CAPITULO V.
LA TRANSFORMACION DE LAPLACE.
5.1INTRODUCCION.-En este capítulo haremos estudio de la transformada de Laplace como un caso particular de las transformadas integrales, siendo de gran importancia en el cálculo operacional por su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.
Ates de dar su definición, daremos ciertas definiciones y teoremas auxiliares.
5.1.1 FUNCIÓNCONTINUA POR PARTES.- Una función f es continua por partes en un intervalo si:
a) f está definida y es continua en todos los puntos de , salvo un número finito de ellos ; y
b) Existen los límites por la derecha y por la izquierda de f en cada , donde es un punto de subdivisiónde
EJEMPLOS: ¿Las siguientes funciones son continuas por partes o no ?

1.-



2.-



3.- f(x)=. En este último caso tenemos que:


Luego es continua por tramos, ya que:



CONSECUENCIAS.-
i. Cualquier función continua en es continua por partes (6 tramos).
ii. Si f y g son continuas por partes en entonces su producto f.g también lo es.
iii. Si f es continua por partes en , entonces existe.
5.1.2 FUNCION DE ORDEN EXPONENCIAL.- Una función f es la orden exponencial ensi existen constantes k y c,
EJEMPLOS.- ¿Las siguientes funciones son de orden exponencial o no?
1)
2)
5.1.3 TEOREMA.- Si f es una función continua por partes de orden exponencial, entonces existen un número real “a” tal que la integral
Con las definiciones auxiliares y el teorema anterior pasaremos a considerar la definición de la transformada de Laplace de una cierta función f.
5.2TRANSFORMADA DE LAPLACE . DEFINICIÓN.- Sea f(t)una función de valor real definida en el intervalo , y consideramos la integral. , en donde s es una variable real. Si esta integrar converge para ciertos valores de s, define una función F(s) de la forma:

Esta nueva función F(s)es llamada la transformada Laplace de f(t)y se denota por:

OBSERVACIONES:
i. El operador integral quetransforma f(t) en F(s) es llamado transformación de Laplace
ii. Si f(t) es continua por tramos en , entonces el integrando sera continuo por tramos, y en consecuencia la integral existe.
iii. La integral Converge cuando , si f(t) es de orden exponencial.
iv. Las condiciones que exige el teorema anterior son sólo suficientes mas no necesarias, es decir: “La transformada de Laplace de cualquierfuncion de orden exponencial existe, pero no podemos decir que si la transformada existe entonces la función es de orden exponencial”.
EJEMPLO.- La función no es de orden exponencial (no es continua en t=0), sin embargo existe su transformada de Laplace.
EJERCICIOS.- Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1)

SOLUCION:





2) f(t)= t
SOLUCION.-

.

3) f(t)=(generalización del caso anterior)
SOLUCION.-


con s

Luego:
4) (generalización del caso anterior)

SOLUCIÓN.



Así por ejemplo si
5)
SOLUCIÓN:



6) f(t) = sen at

SOLUCION:


7) De igual modo se prueba que
3.- TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.-Daremos el siguiente teorema en el cual se apoya el concepto de la transformada inversa de Laplace.
3.1.TEOREMA . (TEOREMA DE LERCH).- Sean f(t)y g(t)funciones continuas por partes de orden exponencial. Si existe un número real tal que
Para todo .
3.2.- DEFINICIÓN.- Dada la ecuación para f(t), entonces la solución será “esencialmente” única (salvo los puntos de discontinuidad). A esta Solución f(t) se le llama la transformada inversa de Laplace de F(s)y se denota por:
.
Es decir:OBSERVACIÓN:
La ecuación puede resolverse para f(t)si
EJEMPLOS.- Las funciones tienen transformadas inversas, mientras que las funciones s, cos s, no tienen transformadas inversas.
5.4 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
a) LINEALIDAD.-
, donde a,b
Para la inversa:
EJEMPLOS: Hallar ldfsfsdfsdfa transformada de Laplace de las siguientes funciones:
1) f(t) = senh...