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4.4 Radio de Convergencia.

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma viene dado por la expresión:


Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma: r

recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que:Donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de  pertenecientes al intervalo (x0-r,x0+r) , ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semi abierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r=0, Si lo hace para cualquier valor de x,r=infinito.
Radio de convergencia finito

La función   en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia: tiene el siguiente aspecto:    (para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es R=1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al xo=0 es menor que r=1, por ejemplo el x=.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado decalcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho 
 
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado   

Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x=2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia).
 Efectivamente:  

Radio de convergencia infinito
Porejemplo, la función e^x puede desarrollarse en series de potencia de x-0=x, de hecho  y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia será infinito.













http://oramasseries.blogspot.mx/2011/05/46-representacion-de-funciones-mediante_25.html


4.5 Serie de Taylor:

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinitasuma de términos.
Términos que se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función.

La serie de una función real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias



que puede compactarse dela siguiente manera: 

donde n! denota el factorial de n y ƒ (n)(a) la derivada enésima de ƒ evaluada para el valor a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Se suele aproximar unafunción mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puedeno ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convirgiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.





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A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de Taylor a sen(x), centradas en 0, degrados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:


que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:





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4.7 Calculo de Integrales de...