mesie

The University of New South W
ales
School of Electrical Engineering and
Computer Science and Engineering

The Elan
Am386SC300
Portable Computer
Rafael Martinez Sanchez
Matematicas
October 1995

Supervisor: M. en C. Fernando Guerrero Poblete
Assessor: Dr. Luis Antonio Rincon Solis
M. en C. David Josafat Santana Cobian
M. en C. Pedro Reyes
M. en C. Brenda Zavala Lopez

IIÍndice general
Agradecimientos

IV

Introducción

V

Prefacio

VI

1. La Caminata Aleatoria
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Caminata en Z . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. La distribución de probabilidad
1.3. Caminata con una barrera absorbente
1.3.1. La ruina del jugador . . . . . .
1.3.2. Duración esperada del juego . .
1.4. Variantes de la caminata aleatoria. .

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1
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después de n pasos
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2. Movimiento Browniano
2.1. Introducción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Breve historia del movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. El movimiento Browniano, una idea intuitiva . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Simulación del movimiento Browniano como límite de una caminata
aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. De…nición ypropiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Una construcción del movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Construcción de Lévy-Ciesielski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Propiedades del movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Propiedades de las trayectorias del movimiento Browniano . . . . . . .
2.10. Motivación a la integralestocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Integral de Ito
3.1. Introducción . . . . . . . . . .
3.2. Un poco de historia . . . . .
3.3. De…nición . . . . . . . . . . .
3.4. Construcción de la integral de
3.5. La fórmula de Ito . . . . . . .

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Ito
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ÍNDICE GENERAL
A. Programas de simulación del movimiento Browniano
A.1.Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Aproximación de una caminata aleatoria al movimiento Browniano
A.3. Movimiento Browniano Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Movimiento Browniano Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5. Proceso de Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Bibliografía

II

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Índice de …guras
1.1. Caminata Aleatoria en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Caminata aleatoria con una barrera absorbente . . . . . . . . . . . . .
1.3. Comportamiento de una partícula sobre el eje x en una caminata aleatoria con una barrera absorbente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.Probabilidades de absorción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Caminata aleatoria simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Caminata aleatoria irrestricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Caminata aleatoria con un estado absorbente . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Caminata aleatoria con barreras absorbentes . . . . . . . . . . . . . .
2.1.
2.2....