Mesopotamia

CUESTIONARIO – CAPÍTULO 4
1. Demuestre dos de los teoremas atribuidos a Tales y explique razonadamente si cree usted o no que Tales pudo haber utilizado un razonamiento analógico.
R=/ Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia. Sobre el conocido Teorema de Tales, tal vez no fuera Tales su autor, sin embargo, se le haatribuido a él por utilizarlo para medir distancias.
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen igualesángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entresí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
| Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otrotriángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula  |

Demostración mediante un ejercicio como ejemplo:
En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.Aplicamos la fórmula, y tenemos: | |

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición desemejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro. Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema deTales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y lalongitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.
Otra variante del Teorema de Tales
| Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectasparalelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).   |
| 3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.|
Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una...