metalografia

3. Variables aleatorias
Estad´ıstica
Ingenier´ıa Inform´
atica

Curso 2009-2010

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-2010

1 / 33

Contenidos

1

Variables aleatorias y su distribuci´
on

2

Transformaci´on de variables aleatorias

3

Medidas caracter´ısticas de una variable aleatoria
Esperanza
Momentos de una variable aleatoria.Varianza
Otras medidas caracter´ısticas

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-2010

2 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

Si en un experimento aleatorio, a cada suceso elemental del espacio (Ω, P)
le asignamos un valor num´erico obtenemos una variable que “hereda” de
Ω la probabilidad P, y que denominamos variable aleatoria.

Laprobabilidad P de que X tome un valor concreto a, P(X = a), es la
probabilidad que corresponde a la uni´
on de los sucesos aleatorios
elementales a los que hemos asignado ese valor a.
Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-2010

3 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

Ejemplo 1:
Experimento aleatorio: “lanzar un dado”.
v.a. m´as natural X : asignar acada cara del dado su valor num´erico ⇒
X toma seis valores, del 1 al 6, con probabilidad
1
P(X = a) = , a = 1, ..., 6
6
v.a. (no tan natural) Y : asignar el valor 1 a las caras que son
m´
ultiplos de tres y el valor 0 a las que no lo son,
Y =

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

1,
0,

con probabilidad p =
con probabilidad p =

3. Variables aleatorias

1
3
2
3

Curso 2009-20104 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

Ejemplo 2:
Vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en
“seleccionar una persona al azar”. Para cada persona observamos el
n´
umero de hermanos que tiene y su peso.
Podemos usar las v.a.’s:
- X para el n´
umero de hermanos, cuyos valores ser´an n´
umeros enteros a
partir de cero,
- Y para el peso; con rango devalores todos los posibles entre los l´ımites
naturales; entre dos valores posibles de Y se podr´ıan obtener infinitos
valores intermedios (si utiliz´aramos aparatos con suficiente precisi´on).
Estos infinitos valores en el rango de la variable es lo que diferencia a las
variables continuas (Y ) de las discretas (X ).

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-20105 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

Definici´on:
Una variable aleatoria X es una funci´
on X : Ω → R, que a cada elemento
del espacio muestral le hace corresponder un n´
umero real.
El conjunto de valores reales que tienen asociado alg´
un elemento del
espacio muestral se denomina rango de la v.a.:
ΩX = {x ∈ R : ∃s ∈ Ω, X (s) = x}
Si ΩX es un conjunto finito onumerable, entonces la variable
aleatoria se denomina discreta.
En caso de que ΩX sea un intervalo, finito o infinito, entonces la
variable aleatoria se denomina continua.

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-2010

6 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

¿C´
omo asignamos una probabilidad P a los valores del rango de una v.a.?
(¿c´
omo heredala variable X la funci´
on de probabilidad P del espacio Ω?)

Dado A ⊂ R, la probabilidad de A viene dada por
P(A) = P(X ∈ A) = P(s ∈ Ω : X (s) ∈ A)

La funci´on de

masa (v.a. discreta)
densidad (v.a. continua)

caracteriza P (inducida por P)

¿qu´e significa? que conocida la funci´
on de masa/densidad de X podemos
calcular la probabilidad de cualquier subconjunto A ⊂ R
¿por qu´eusarlas? porque son m´as f´aciles de calcular y de manipular

Estad´ıstica (Aurora Torrente)

3. Variables aleatorias

Curso 2009-2010

7 / 33

Variables aleatorias y su distribuci´
on

Funci´
on de masa (v.a.discreta)
Es una funci´on que representa la probabilidad de que X tome cada uno de
los posibles valores (discretos) xi , i = 1, ..., n, ...:
p:R
xi

→
→

[0, 1]...