Metodo De Aproximacion Suceciva

2.4.2 Método de aproximaciones sucesivas
El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más importantes para obtener raíces de las ecuaciones no lineales. Supongamos laecuación donde:
ƒ(x)= 0
f(x): es una función continua que se desea determinar sus raíces reales.

Luego se sustituye f(x) por la ecuación equivalente x = G(x)
Se estima elvalor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1. x1 = G(x0)
Poniendo x1 como argumento de G(x), obtendremos un nuevo númerox2, y así sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.
xn = G(xn-1) …(1) (n = 1,2,3…)
Si esta secuencia es convergente es decir,tiende hacia un límite, la solución r es: r = limn∞ xn


El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura. Se dibuja la curva y = G(x), y larecta y = x, bisectriz del primer cuadrante. La abscisa r del punto de intersección es la raíz buscada.
Un ejemplo para encontrar la raíz de una ecuación

Para encontrar la raíz, se comienza en elpunto cualquiera de abscisa x0 dentro del intervalo (0, /2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego, desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza larecta bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una línea vertical hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el punto de interseccióntiene de abscisa x2, y así sucesivamente. Como podemos apreciar en la figura, la sucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz r de la ecuación buscada.
Tal como nos sugiere la representación gráfica dela función en la figura, la raíz buscada está en el intervalo 0 a. Tomamos una aproximación inicial a la raíz x0, en dicho intervalo y aplicamos la fórmula (1).

• La condición de finalización...