metodo de arandelas

VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Consideremos dos funciones y continúas en el intervalo cerrado , de tal manera que para todo . Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones; y las rectas con ecuaciones .

 
Se requiere determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la región comprendida entre las dos curvas, alrededor del eje (note que en estecaso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras).
El sólido generado se muestra en la siguiente figura:

 
Sea una partición del intervalo determinada por el conjunto de números conpara ,
En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación elrectángulo y el anillo circular generado al rotar aquel alrededor del eje .


Luego, el área del anillo circular es:



por lo que el volumen del elemento sólido será:

Entonces, lasuma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:



Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será la aproximación de la suma anterior alvolumen del sólido. Por lo tanto si hacemos que n tienda al infinito el volumen del sólido generado es:


Al igual que para el área entre dos curvas, es bueno recordar la expresión en la forma:

Paraevaluar el sólido generado al hacer girar una región del plano comprendida entre dos curvas , se recomienda.

1. Dibujar las curvas para identificar la región que se hace girar y determinar en elintervalo que curva se encuentra en la parte superior y cual en la inferior.
2. Determinar los límites de integración los cuales corresponden a las rectas si las curvas no se intersecan, o lospuntos de intersección cuando estas se cruzan.
3. Aplicar la expresión para determinar el volumen, es decir
Ejemplos UNO.

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje , la...