Metodo De Biseccion

Método de Bisección El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:

Teorema del Valor Intermedio

Sea continua en un intervalo y supongamos que ������(������) < ������(������) . Entonces para cada ������ tal que ������(������) < ������ < ������(������) , existe un ������0 ∈ ������, ������ tal que ������(������ 0 ) = ������. La misma conclusión se obtiene para el caso que������(������) > ������(������) . Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, si ������(������) y ������(������) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente ������ = 0 , y por lotanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir ������0 ∈ ������, ������ tal que ������(������ 0 ) = ������, es decir, debe haber por lo menos una raíz de ������(������) en el intervalo ������, ������ . El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea ������(������) continua, 1. Encontrar valores iniciales ������������ , ������������ tales que ������(������ ������ ) y������(������ ������ ) tienen signos opuestos, es decir, ������(������ ������ ) . ������(������ ������ ) < 0 2. La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre ������������ y ������������ ������������ =
������ ������ +������ ������ 2

3. Evaluar ������(������ ������ ) Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: a) ������(������ ������ ) . ������(������ ������ ) < 0 En este caso,tenemos que ������(������ ������ ) y ������(������ ������ ) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [������������, ������������ ]. b) ������(������ ������ ) . ������(������ ������ ) > 0 En este caso, tenemos que ������(������ ������ ) y ������(������ ������ ) tienen el mismo signo, y de aquí que ������(������ 0 ) y ������(������ ������ ) tienen signos opuestos. Porlo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [������������, ������������ ]. c) ������(������ ������ ) . ������(������ ������ ) = 0 En este caso se tiene que ������(������ ������ ) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: ∈������ 0 4. Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguientetabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1.25,1.5]. En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo. Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

[1.25,1.5]. ������������2 = 1.25 + 1.5 = 1.375 2

Aquípodemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa: ∈������ = ������������2 − ������������1 ������100% = 9.09% ������������2

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos ������(1.35) = ������ −1.35 − ln 1.35 = −0.06561 < 0, y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en elintervalo [1.25,1.375]. Calculamos el punto medio, ������������3 = 1.25 + 1.375 = 1.3125 2

Y calculamos el nuevo error aproximado: ∈������ = ������������3 − ������������2 ������100% = 4.76% ������������3

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: Aprox. a la raíz 1.25 1.375 1.3125 1.28125 1.296875 1.3046875 Error aprox. 9.09%4.76% 2.43% 1.20% 0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz ������������6 = 1.3046875

Ejemplo Aproximar la raíz de ������(������) = tan−1 ������ + ������ − 1 hasta que ∈������ < 1 en el intervalo [0,1] Solución Para poder aplicar el método de bisección, es importante chequear que sí se cumplen las hipótesis requeridas. Sabemos que ������(������) es continua en...