metodo de cholesky

LDL factorización de matrices simétricas y factorización de Cholesky de matrices definidas positivas
Uno de los temas importantes en álgebra lineal numérica, es que siempre que sea posible, nos aprovechamos de una estructura especial de matrices en nuestros cálculos. Una clase importante de `` especial''matrices es la matrices simétricas . Obviamente, podemos almacenar estas matrices con más omenos la mitad de la memoria, es natural preguntarse si podemos resolver el sistema de tal manera que se aprovecha de la simetría.
Vamos a empezar por mirar a un simple ejemplo:
Dejar , Entonces podemos comenzar el proceso de factorización como



Tenga en cuenta que la simetría se pierde. Podemos reparar ese problema continúa:



Estos factores de la matriz como producto de unamatriz triangular inferior con 'S en la diagonal, los tiempos de un par de veces la matriz diagonal de la transpuesta de la matriz triangular inferior. En este caso las entradas diagonales son positivos, por lo que podemos factor ya que






Es decir que el factor con una matriz triangular inferior.
El mismo tipo de factorizaciones son posibles para matrices.
Antes de profundizar en esteproblema vale la pena recordar algunos hechos básicos sobre matrices:
1.
2.
3.
4. El producto de la parte superior (inferior) es triangular matrices superior (inferior) triangular.
5. Si un límite superior (inferior) de la matriz triangular es invertible, la inversa también es superior (inferior) triangular.
Si es simétrica y se factoriza como , A continuación, por la singularidad, y. Ahora que sabemos que una simétrica (no singular) de la matriz que tiene una factorización únicamente puede ser factorizada como , Podemos preguntarnos cómo esta factorización se pueden implementar en un algoritmo. Podríamos usar el algoritmo de eliminación de Gauss, y el extracto de la Las entradas de 's después de haber producido . Esto funciona, pero no está tomando ventaja de la simetría. Unalgoritmo eficiente evita el almacenamiento o el cálculo del triángulo superior de las entradas a todos. El siguiente algoritmo no está optimizado para el almacenamiento, sino que toma ventaja de la simetría para reducir el trabajo a la mitad. Este algoritmo es de la sección 4.1.2 de Golub y Van Loan
de entrada: A una matriz simétrica no singular, con una factorización LU
Salida: L triangularinferior y D, las entradas diagonales de D
para j = 1: n
# Tenga en cuenta este bucle no se ejecuta en absoluto cuando j = 1
para i = 1: j-1
v (i) = L (j, i) d (i)
final
# V es un vector temporal de tamaño n
# Tenga en cuenta que el segundo término (la suma) es 0 si j = 1
v (j) = A (j, j) - L (j, i) v (i)
d (j) = v (j)
# Si esta d (j) = v (j) es cero, lo que significa que A nofactorización LU
# Código real debería probar esta condición de error.
L (j +1: n, j) = (A (j +1: n, j) - L (j +1: n, i) v (i)) / v (j)
final
En el caso especial en las entradas de son todas positivas, es posible sacar la raíz cuadrada de la matriz diagonal , Con . Entonces podemos definir y tenemos . Resulta que este caso especial se presenta en muchos contextos, y no hay un nombre paraeste tipo de matriz simétrica.
Definición: Una matriz simétrica se dice que es definida positiva, si por cualquier vector , .
Teorema Una matriz simétrica es definida positiva si y sólo si tiene una factorización con una matriz triangular inferior no singular.
Demostración: Si con no singular, entonces . Dejar , Entonces tenemos , Y tenemos que a menos que , . La única manera de podría sersi es , Ya que es no singular, por lo que si , .
Por otro lado, si asumimos que es definida positiva, a continuación, escribir



desde es definida positiva, para que podamos factor de



Dejar . Si podemos demostrar que es definida positiva, nos han demostrado por inducción que la factorización de las obras. Dejar . A continuación, defina por .



así cuando . Eso es es definida...