Metodo de cross

Bases del método de Cross

Tema 6 Bases del método de Cross

1. INTRODUCCION A LA PROBLEMATICA DE LA RESOLUCION DE
ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

Figura 1:Estructuras hiperestáticas.

En el cálculo de estructuras se presenta con frecuencia el caso de la resolución de estructuras hiperestáticas (figura 1). El cálculo de estas estructuras hiperestáticas se puede efectuar planteando un sistemageneral de ecuaciones. En estructuras reticulares de edificación, con nudos rígidos, este método conduce a un elevado número de ecuaciones e incógnitas, cuya aparición antes de los ordenadores y calculadoras de gran capacidad era prácticamente imposible.

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En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método deaproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicacionesy divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El método de Cross es un método deaproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

2. CONCEPTOS PREVIOS 2.1. PARES DE EMPOTRAMIENTO
Una vigaempotrada-empotrada, como la representada en la figura 2a, está sometida a un sistema de acciones. Su deformada es la que aparece en la figura 2b. En ella se pueden considerar tres tramos, tal y como se representa en la figura 2c. Los tramos primero y último, de acuerdo con el convenio, tienen flexión negativa, mientras que el tramo intermedio presenta flexión positiva. Los momentos flectores MA y MB enlos apoyos serán negativos, así como los momentos del tramo intermedio son positivos. Por el principio de acción y reacción, la viga ejerce sobre los apoyos unos momentos (figura 2d) y los apoyos sobre las vigas otros, que serán iguales y de sentido contrario. A estos momentos se les llama pares de empotramiento (figura 2e). Por tanto, los pares de empotramiento son las acciones que ejercen losapoyos sobre la pieza. Estos pares de empotramiento tienen el mismo valor absoluto que los momentos flectores MA y MB. Tomando el convenio de signos de la figura 2f, el par en el apoyo A es positivo, mientras que el par en B es negativo. Como los momentos flectores en los apoyos son de signo negativo, para pasar de momentos flectores a pares de

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empotramientobasta cambiar de signo al de la izquierda y mantener el signo al de la derecha. De igual modo se opera para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores. En las piezas verticales se actúa de la misma forma. Como no hay establecido un signo de flexión, se define uno. Para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores, o a la inversa, se cambia de signo al valor de un extremo.

Figura2: Pares de empotramiento.

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2.2. NUDO RIGIDO

Figura 3: Nudo rígido.

Si se tiene un nudo en el que concurren barras empotradas en sus otros extremos (figura 3a), y se aplica un momento M en el nudo, las barras se deforman como indica la figura 3b. Cada uno gira un determinado ángulo o, lo que es igual, la tangente de la deformada forma un cierto ángulo...